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27- §.
IKKILANGAN BURCHAKNING
SINUSI VA KOSINUSI
Qo‘shish formulalaridan foydalanib,
ikkilangan burchakning sinusi
va kosinusi formulalarini
keltirib chiqaramiz.
1) sin2
a =
sin(
a
+
a
)
=
sin
a
cos
a
+
sin
a
cos
a =
2sin
a
cos
a
.
Shunday qilib,
sin2
a =
2sin
a
cos
a
.
(1)
1- m a s a l a .
Agar sin
a = -
0,6 va
p a
p
<
<
3
2
bo‘lsa, sin2
a
ni hisoblang.
(1) formula bo‘yicha topamiz:
sin2
a =
2sin
a
cos
a =
2
×
(
-
0,6)
×
cos
a = -
1,2cos
a
.
p a
p
<
<
3
2
bo‘lgani uchun cos
a <
0 bo‘ladi va shuning uchun:
cos
sin
,
,
a
a
= -
-
= -
-
= -
1
1 0 36
0 8
2
.
Demak, sin
,
(
, )
,
2
1 2
0 8
0 96
a = -
× -
=
.
!
138
2) cos2
a =
cos(
a
+
a
)
=
cos
a
cos
a -
sin
a
sin
a =
cos
2
a -
sin
2
a
.
Shunday qilib,
cos2
a =
cos
2
a -
sin
2
a.
(2)
2- m a s a l a .
Agar cos
a =
0,3 bo‘lsa, cos2
a
ni hisoblang.
(2) formuladan va asosiy trigonometrik ayniyatdan foydalanib,
hosil qilamiz:
cos2
a =
cos
2
a -
sin
2
a =
cos
2
a -
(1
-
cos
2
a) =
=
2cos
2
a -
1
=
2
×
(0,3)
2
-
1
= -
0,82.
3- m a s a l a .
Ifodani soddalashtiring:
sin cos
sin
a
a
a
1 2
2
-
.
sin cos
sin
sin cos
(sin
cos
sin
)
sin
(cos
sin
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-
+
-
-
=
=
=
=
=
sin
cos
tg
2
2
2
1
2
2
a
a
a
.
4- m a s a l a .
Agar tg
a =
1
2
bo‘lsa, tg2
a
ni hisoblang.
tg(
)
tg
tg
tg tg
a b
a
b
a
b
+
=
+
-
1
formulada
b = a
deb faraz qilib (26-§ ga qarang), hosil qilamiz:
tg2
2tg
1 tg
2
a
a
a
=
-
.
(3)
Agar tg
a =
1
2
bo‘lsa, u holda (3) formula bo‘yicha topamiz:
( )
tg 2
2
1
4
3
1
2
1
2
2
a =
=
×
-
.
M a s h q l a r
Hisoblang
(338–339)
:
338.
1) 2sin15
°
cos15
°
;
2) cos
2
15
° -
sin
2
15
°
;
3) (cos75
° -
sin75
°
)
2
;
4) (cos15
° +
sin15
°)
2
.
!
139
339.
1) 2
8
8
sin
cos
p
p
;
2) cos
sin
2
2
8
8
p
p
-
;
3) sin
cos
p
p
8
8
1
4
+
;
4)
(
)
2
2
8
8
2
-
+
cos
sin
p
p
.
340 .
Agar:
1) sin
a
a p
p
=
< <
3
5
2
va
;
2) cos
a
p a
p
= -
<
<
4
5
3
2
va
bo‘lsa, sin2
a
ni hisoblang.
341.
Agar:
1) cos
a =
4
5
;
2) sin
a = -
3
5
bo‘lsa, cos2
a
ni hisoblang.
Ifodani soddalashtiring
(342–343)
:
342.
1) sin
a
cos
a
;
2)
( )
cos cos
a
p
a
2
-
;
3) cos4
a +
sin
2
2
a
;
4) sin2
a +
(sin
a -
cos
a
)
2
.
343.
1)
cos
cos
2
1
2
a
a
+
; 2)
sin
cos
2
1
2
a
a
-
; 3)
sin
(sin
cos )
2
2
1
a
a
a
+
-
; 4)
1
2
1
2
+
-
cos
cos
a
a
.
344.
Ayniyatni isbotlang:
1) sin2
a =
(sin
a +
cos
a)
2
-
1;
2) (sin
a -
cos
a)
2
=
1
-
sin2
a
;
3) cos
4
a -
sin
4
a =
cos2
a
;
4) 2cos
2
a -
cos2
a =
1.
345.
Agar:
1) sin
cos
a
a
+
=
1
2
;
2) sin
cos
a
a
-
= -
1
3
bo‘lsa, sin2
a
ni hisoblang.
346.
Ayniyatni isbotlang:
1) 1
+
cos2
a =
2cos
2
a
;
2) 1
-
cos2
a =
2sin
2
a.
347.
Hisoblang:
1) 2cos
2
15
° -
1;
2) 1
-
2sin
2
22,5
°
;
3) 2
1
2
8
cos
p
-
;
4) 1 2
2
12
-
sin
p
.
348.
Ifodani soddalashtiring:
1) 1
-
2sin
2
5
a
;
2) 2cos
2
3
a -
1;
3)
1
2
2
2
-
cos
sin cos
a
a
a
;
4)
2
2
1
2
2
cos
sin
a
a
-
.
140
349.
Ayniyatni isbotlang:
1)
cos
sin cos
sin
ctg
2
2
1
a
a
a
a
a
+
=
-
; 2)
sin
cos
sin
sin
ctg
2
2
2
2
a
a
a
a
a
-
-
= -
;
3) tg (
cos
)
sin
a
a
a
1
2
2
+
=
;
4)
1
2
2
1
2
2
1
-
+
+
+
×
=
cos
sin
cos
sin
ctg
a
a
a
a
a
.
350.
Agar tg
a =
0,6 bo‘lsa, tg2
a
ni hisoblang.
351.
Hisoblang: 1)
2
1
8
2
8
tg
tg
p
p
-
;
2)
6
15
1
15
2
tg
tg
o
o
-
.
28- §.
KELTIRISH FORMULALARI
Sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlarining jadvallari 0
°
dan 90
°
gacha (yoki 0 dan
p
2
gacha) burchaklar uchun tuziladi. Bu hol
ularning boshqa burchaklar uchun qiymatlari o‘tkir burchaklar uchun
qiymatlariga keltirilishi bilan izohlanadi.
1 - m a s a l a .
sin870
°
va cos870
°
ni hisoblang.
870
°
=
2•360
°
+
150
°
. Shuning uchun
P
(1; 0) nuqtani koordina-
talar boshi atrofida 870
°
ga burganda nuqta ikkita to‘la aylanishni
bajaradi va yana 150
°
burchakka buriladi, ya’ni 150
°
ga burishdagi
M
nuqtaning xuddi o‘zi hosil bo‘ladi (70- rasm). Shuning uchun
sin870
° =
sin150
°
, cos870
° =
cos150
°
.
M
nuqtaga
Oy
o‘qqa nisbatan simmetrik bo‘lgan
M
1
nuqtani yasay-
miz (71- rasm).
M
va
M
1
nuqtalarning ordinatalari bir xil, abssissalari
esa faqat ishoralari bilan farq qiladi. Shuning uchun sin
sin
150
30
1
2
o
o
=
=
;
cos
cos
150
30
3
2
o
o
= -
= -
.
J a v o b :
sin 870
1
2
o
=
, cos 870
3
2
o
= -
.
1- masalani yechishda
sin(2•360
° +
150
°
)
=
sin150
°
, cos(2•360
° +
150
°
)
=
cos150
°
, (1)
sin(180
° -
30
°
)
=
sin30
°
, cos(180
° -
30
°
)
= -
cos30
°
(2)
tengliklardan foydalanildi.
141
(1) tenglik to‘g‘ri tenglik, chunki
P
(1; 0) nuqtani
a +
2
p
k
,
k
Î
Z
bur-
chakka burganda uni
a
burchakka burgandagi nuqtaning ayni o‘zi
hosil bo‘ladi.
Shuning uchun ushbu formulalar to‘g‘ri bo‘ladi:
sin(
a +
2
p
k
)
=
sin
a,
cos(
a +
2
p
k
)
=
cos
a,
k
Î
Z.
(3)
Xususan,
k
=
1 bo‘lganda:
sin(
a +
2
p
)
=
sin
a,
cos(
a +
2
p
)
=
cos
a
tengliklar o‘rinlidir.
(2) tenglik
sin(
p - a
)
=
sin
a,
cos(
p - a
)
= -
cos
a
(4)
formulalarning xususiy holi sanaladi.
sin(
p - a
)
=
sin
a
formulani isbot qilamiz.
Sinus uchun qo‘shish formulasini qo‘llab, hosil qilamiz:
sin(
p - a
)
=
sin
p
cos
a -
cos
p
sin
a =
=
0•cos
a -
(
-
1)•sin
a =
sin
a.
(4) formulalarning ikkinchisi ham shunga o‘xshash isbot
qilinadi. (4) formulalar
keltirish formulalari
deyiladi. (3) va (4)
formulalar yordamida istalgan burchakning sinus va kosinusini
hisoblashni ularning o‘tkir burchak uchun qiymatlarini hisob-
lashga keltirish mumkin.
!
70- rasm.
71- rasm.
!
142
2 - m a s a l a .
sin930
°
ni hisoblang.
(3) formuladan foydalanib, hosil qilamiz:
sin930
° =
sin(3•360
° -
150
°
)
=
sin(
-
150
°
).
sin(
-a
)
= -
sin
a
formula bo‘yicha sin(
-
150
°
)
= -
sin150
°
ni hosil
qilamiz.
(4) formula bo‘yicha topamiz:
-
sin150
° = -
sin(180
° -
30
°
)
= -
sin30
° = -
1
2
.
J a v o b :
sin 930
1
2
o
= -
.
3- m a s a l a .
cos
15
4
p
ni hisoblang.
cos
cos(
cos(
cos
)
)
15
4
4
4
4
2
2
4
p
p
p
p
p
=
-
=
-
=
=
.
Endi istalgan burchakning tangensini hisoblashni o‘tkir bur-
chakning tangensini hisoblashga qanday keltirish mumkinligini ko‘r-
satamiz.
(3) formuladan va tangensning ta’rifidan
tg(
a +
2
p
k
)
=
tg
a
,
k
Î
Z
tenglik kelib chiqadi.
Bu tenglik va (4) formuladan foydalanib, hosil qilamiz:
tg(
a + p
)
=
tg(
a + p -
2
p
)
=
tg(
a - p
)
= -
tg(
p - a
)
=
= -
= -
=
-
-
-
sin(
)
cos(
)
sin
cos
tg
p a
p a
a
a
a
.
Shuning uchun ushbu formula o‘rinli bo‘ladi:
tg(
a + p
k
)
=
tg
a
,
k
Î
Z.
(5)
4- m a s a l a .
Hisoblang: 1) tg
11
3
p
; 2) tg
13
4
p
.
1) tg
tg(
)
tg(
)
tg
11
3
3
3
3
4
3
p
p
p
p
p
=
-
=
-
= -
= -
.
2)
1
tg
)
3
tg(
tg
4
4
4
13
=
=
+
p
=
p
p
p
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
