ТИМСОЛЛАРНИ АНИҚЛАШ МАСАЛАСИДА ЭКВИВАЛЕНТЛИК
МУНОСАБАТИ ВА ХОССАЛАРИ
М.Х. Худайбердиев
(катта илмий ходими, ТАТУ ҳузуридаги АКТ ИИМ)
𝑀
бош тўпламда
𝜌̃
эквивалент муносабат ва
𝑀
тўпламдан олинган
𝑠′
объект берилган бўлсин.
𝑀
тўпламдаги барча объектларни
𝑠′
объектга
нисбатан
𝜌̃
эквивалент муносабатни қараб чиқилсин.
𝑀
тўпламда
𝑠′
объектга
𝜌̃
муносабат билан таъсир қилиш орқали
эквивалент объектлар гуруҳи топилса, у ҳолда бундай қисм тўплам мавжуд
ва қуйидаги ифода ўринли:
𝐾
ℓ
= {𝑠 ∈ 𝑀: 𝑠𝜌̃𝑠′}
.
𝑀
тўпламда
𝜌̃
эквивалентлик муносабати бўлсин ва
𝜌̃
муносабат учун
𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
барчаси таркибидаги объектлар ўзаро эквивалент бўлган
синфлардир.
1-хосса
.
𝑀
тўпламдан олинган ихтиёрий
𝑠′
объект учун қуйидаги шарт
бажарилади,
𝑠′ ∈ 𝑀
𝑠′
.
Ҳақиқатдан ҳам
𝑀
𝑠′
= {𝑠 ∈ 𝑀: 𝑠𝜌̃ 𝑠′}
синф аниқланган бўлса, у ҳолда
𝑠′
объект учун
𝑠′ ∈ 𝑀
𝑠′
↔ 𝑠′𝜌̃𝑠′
шартни бажарилиши зарур. Бунда
𝜌̃
эквивалентлик муносабатида аниқланган рефлексивликни бажарилишини
таъминлайди. Шундай қилиб,
𝑠′ ∈ 𝑀
𝑠′
ўринлидир.
Хулоса ўрнида шуни айтиш керакки,
𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
барча синфлар бўш
бўлмаслиги керак.
2-хосса
.
𝜌̃
муносабат учун
{𝑠′}
ва
{𝑠}
эквивалент ўқув ва назорат
танланмалари бўлсин. Ўқув
{𝑠′}
ва назорат
{𝑠}
объектлари тўпламига
𝜌̃
муносабат билан таъсир қилинганда
𝑠′
объект учун шундай
𝑠
элемент
топилса, у ҳолда мазкур тўпламлар характерли жиҳатларига нисбатан ўзаро
симметрик дейилади.
Бу хосса симметриклик хоссасини бажарилишига олиб келади, яъни
𝑠𝜌̃ 𝑠
′
⟹ 𝑠
′
𝜌̃𝑠, 𝑠, 𝑠′ ∈ 𝐾
𝑢
.
3-хосса.
𝜌̃
муносабат учун
𝐾
𝑢
ва
𝐾
𝑣
хар бири ўз таркибида ўзаро
эквивалент объектлар синфлар бўлсин, у ҳолда
𝐾
𝑢
ва
𝐾
𝑣
синфлар ўзаро
умумий объектга эга эмасдирлар.
𝐾
𝑢
≠ 𝐾
𝑣
→ 𝐾
𝑢
∩ 𝐾
𝑣
= ∅, 𝑢 ≠ 𝑣,
𝑢, 𝑣 ∈ 1, ℓ
̅̅̅̅̅.
4-хосса.
𝑀
тўпламдаги барча
𝐾
𝑢
эквивалент синфларни бирлашмаси
𝑀
га тенг,
⋃
𝐾
𝑢
ℓ
𝑢=1
= 𝑀.
449
Агар
𝑀
тўпламни
𝜌̃
эквивалентлик муносабати орқали бир нечта
синфларга
𝐾
𝑢
(
𝑢 ∈ 1, ℓ
̅̅̅̅̅
) ажратилган деб айтилади, қачонки қуйидаги шартлар
бажарилса,
1.
Ҳар бир синф
𝐾
𝑢
≠ ∅
бўш бўлмаслиги керак;
2.
Барча
𝐾
𝑢
синфларни бирлашмаси
𝑀
тўпламга тенг;
3.
Иккита турли
𝐾
𝑢
ва
𝐾
𝑣
синфлар ўзаро кесишмайди, бу ерда
𝑢 ≠ 𝑣
умумий элементга эга эмас
(𝑢 ∈ 1, ℓ
̅̅̅̅̅)
.
Теорема 2.2
. Агар
𝑀
тўпламда
𝜌̃
эквивалентлик муносабати берилган
бўлса, у ҳолда
𝑀
тўпламда
𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
ўзаро эквивалент ичики таркибга эга
синфлар мажмуаси вужудга келади.
Исботи
. Ҳақиқатдан ҳам қуйидаги учта шарт бажарилса,
𝐾
1,ℓ
̅̅̅̅
қисм
тўплам
𝐾
𝑢
эквивалентлик синфларидан олинган ҳисобланади:
1.
Биринчи хоссага мувофиқ, хар бир эквивалент синфлар бўш
бўлмаслиги керак;
2.
Тўртинчи хоссага мувофиқ, барча эквивалент синфлар бирлашмаси
𝑀
тўпламга тегишлидир.
3.
Учинчи хоссага мувофиқ, иккита турли синфлар умумий элементга
эга эмас, яъни ўзаро кесишмайди.
Юқоридаги барча шартлар
𝑀
тўпламни
𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
синфларга
бўлаклашни бажарилганлигини таърифлайди. Ўз навбатида эквивалент
синфлар
𝑀
тўпламни
𝜌̃
эквивалентлик муносабати орқали бўлаклаш
натижасида вужудга келади. Теорема исботланди.
1-тасдиқ
. а) агар
𝑀
тўпламга
𝜌̃
эквивалентлик муносабати киритиш
орқали ўзаро кесишмайдиган синфларга тақсимланган бўлса, у ҳолда ҳар бир
синф хусусиятига хос объектлар айнан шу синфда ётади;
б) ҳар қандай эквивалентлик муносабати тўпламни синфларга
тақсимлаш билан ифодаланади.
Исботи.
Тасдиқни (а) қисми мутлоқо равшан; тасдиқни (б) қисми бўйича
айнан қайси пукнтларда эквивалентлик муносабатлари аниқланаётганини
исботлаймиз. Юқорида келтирилганидек,
𝜌̃
эквивалентлик муносабати
бўлсин.
𝑀
тўпламни тақсимлаганда хосил бўлган
𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
синфларни
биридан ихтиёрий равишда олинган
𝑥, 𝑦
объектлар
𝜌̃
эквивалентлик
муносабати билан
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾
𝑢
бўлишини кўриб чиқамиз. Дастлаб,
𝑠
1
, 𝑠
2
объектларни усутма-уст тушиши ёки ўзаро қатъий фарқилишини
исботлаймиз. Айтайлик,
𝑠
1
, 𝑠
2
объектлар усутма-уст тушсин, у ҳолда мазкур
икки объект ҳам бир синфда ётади,
𝑠
1
, 𝑠
2
∈ 𝐾
𝑢
, яъни
𝐾
𝑢
синфдан олинган
шундай
𝑠
′
объект борки,
𝜌̃
эквивалентлик муносбат орқали
𝑠
1
𝜌̃𝑠
′
ва
𝑠
′
𝜌̃𝑠
2
(симметрик) ва
𝑠
1
𝜌̃ 𝑠
2
(тарзитивлик), шунингдек
𝑠
2
𝜌̃ 𝑠
1
симметриклик шарти
ҳам бажарилди. Шунинг учун
𝐾
𝑢
синфдан олинган ихтиёрий
𝑠
′
объект учун
𝑠
1
𝜌̃𝑠
′
ва
𝑠
2
𝜌̃𝑠
′
транзитивлик шарти ҳам бажарилади ёки аксинча. Бундан
кўринадики, рефлексивлик, симметриклик ва транзитивлик хосслари тўлиқ
бажарилмоқда. Тасдиқ исботланди.
Шу билан бирга
𝑀
тўпламда яна бир бинар муносабат қисман
тартибланган ҳақида сўз юритамиз. Қисман тартибланган тўпламларда ҳам
450
рефлексивлик, антисиметриклик ва транзитивлик шартлари тўлиқ
бажарилади ҳамда
≤
бинар белги орқали ифодаланади. Қисман тартибланган
тўпламларда ихтиёрий иккита элементини қиёслаш имконияти мавжуд
бўлади,
𝑠
1
≤ 𝑠
2
ёки
𝑠
2
≤ 𝑠
1
. Бу эса синфларда чизиқли тартиб борлигидан
дарак беради. Маълумки, ўқув танланмада
𝐼
0
= (𝑆′, Γ)
, шундан келиб чиқиб,
ҳар бир синф таркибидаги объектлар муҳимлик даражаси бўйича чизиқли
тартибга эгадир. Агар
〈𝑠
1
, Γ
1
〉 ≤ 〈𝑠
2
, Γ
2
〉
бўлса, у ҳолда
𝑠
1
≤ 𝑠
2
,
Γ
1
≤ Γ
2
тенгсизликлар ўринлидир ва бу объектлар ўз синфига яқинлик баҳолари
турли даражада эканлигини кўрсатади. Бу эса синф ичида тартиб
мавжудлигидан дарак беради. Шунингдек,
𝑀
бош тўпламдан олинган
𝐾
𝑢
синфга маскимал баҳо берувчи
𝑠
′
объект мавжуд бўлса ва
𝑠
′
объектга юқори
даражада ўхшаш
{𝑠}
объектларни қисм тўплами ҳам топилади ва эталон
объектлар қисм тўпламини саралаб олишга имкон беради.
Шуни ҳам такидлаб ўтиш керакки, иккита қисман тартибланган
тўпламларда ўзаро бир қийматли мосликка эга бўлса, у ҳолда улар ўзаро
изоморфдир. Бу ҳақида навбатдаги параграфда тўхталиб ўтилади.
Фойдаланилган адабиётлар:
1.
Kamilov M., Hudayberdiev M., Khamroev A. Algorithm for the Development of a Training
Set that Best Describes the Objects of Recognition // Procedia Computer Science 150 (2019). -
Pp. 116-122.
2.
Khamroev Alisher. An algorithm for constructing feature relations between the classes in the
training set. Procedia Computer Science.-Volume103–2017.–Pр 244-247.
3.
Khamroev Alisher. The solution of problem of parameterization of the proximity function in
ACE using genetic algorithm. IJRET:International Journal of Research in Engineering and
Technology, India, Bangalor. - Volume 04, Issue 12. – December, 2015. – Рр. 100-104.
Do'stlaringiz bilan baham: |