Samarqand davlat universiteti

§1.4 Doiraviy silindrik elastik sterjenning buralma tebranishlari

klassik va aniqlashtirilgan tenglamalari (xususiy hol)

Oldingi paragrafda keltirib chiqarilgan (1.52) tenglama doiraviy elastik sterjenning buralma tebranishi umumiy tenglamasi hisoblanadi. Bu tenglama ko’chishlarning bosh qismlariga nisbatan keltirilib chiqarildi. Sterjenning sirti unga ta’sir etuvchi kuchlanishlardan xoli deb hisoblab, sterjen buralma tebranishining klassik va aniqlashtirilgan tenglamalarini keltirib chiqaramiz.

Avvalo elastik sterjenning umumiy (1.52) tenglamasidan elastik sterjen uchun klassik buralma tebranish tenglamasiga yaqin, lekin undan umumiy bo’lgan tenglamani chiqaramiz. Buning uchun (1.53) formulada deb va (1.54) munosabatni hisobga olib quyidagiga ega bo’lamiz

Hosil qilingangan ning ifodasini (1.52) tenglamaga qo’yib ushbuni olamiz

Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini ga bo’lib

(1.72)

qayishqoq-elastik sterjenning buralma tebranishlarining tenglamasiga ega bo’lamiz. Bu tenglamaning tartibi ikkiga teng bo’lib undan bo’lgan hol uchun ushbu

(1.73)

elastik sterjenning buralma tebranishlari tenglamasi kelib chiqadi.

Hosil qilingan (1.71) tenglamada ekanligini hisobga olsak, bu tenglama elastik sterjenning buralma tebranish klassik tenglamasidan iborat ekanligi ko’rinadi. Shunga mos ravishda (1.61) tenglamani ham elastik sterjenning buralma tebranish klassik tenglamasi deb ataymiz.

Sterjenning buralma tebranishlari aniqlashtirilgan tenglamasini keltirib chiqarish uchun (1.53) ifodada deb,

ni hosil qilamiz va (1.54) munosabatni hisobga olgan holda ifodani (1.52) tenglamaga qo’yib quyidagiga ega bo’lamiz

Bu tenglikni har ikkala tomonini ga bo’lib, ikkinchi qavsni kvadratga ko’taramiz va quyidagini olamiz

(1.74)

Hosil qilingan bu tenglama qayishqoq-elastik sterjenning buralma tebranishlari aniqlashtirilgan tenglamasi hisoblanadi. Bu tenglama to’rtinchi tartibli bo’lib undan bo’lgan hol uchun

(1.75)

elastik sterjenning buralma tebranishlari aniqlashtirilgan tenglamasini olamiz.

Ushbu (1.75) tenglamada ekanligini hisobga olsak elastik sterjenning buralma tebranish aniqlashtirilgan tenglamasiga ega bo’lamiz. Shunga mos ravishda (1.74) tenglama ham qayishqoq-elastik sterjenning buralma tebranishi aniqlashtirilgan tenglamasi deb ataymiz.

Keltirib chiqarilgan (1.74) tenglamani ko’ndalang kesim yuzasi doiraviy bo’lgan sterjenning markaziy o’qiga nisbatan inertsiya momenti va qayishqoqlik teskarilanuvchi operatori ga ko’paytirib

tenglamaga kelamiz. Bu yerda ko’ndalang kesimi doiraviy bo’lgan sterjenning markaziy o’qiga nisbatan inersiya momenti va sterjenning ko’ndalang kesim yuzasi ekanligini hisobga olsak oxirgi tenglamani

(1.76)

ko’rinishida yozish mumkin.

Bu tenglamada deb va ekanligidan

ga ega bo’lamiz.

Agar (- Puasson koeffitsienti, ) kabi belgilash olsak, oxirgi tenglamani quyidagicha yozish mumkin

(1.77)

Keltirib chiqarilgan (1.77) tenglamadagi hadlarning mexanik ma’nosi haqida to’xtalamiz:

-aylanish inersiyasining ta’siri;

-taqsimlangan kuchlar;

-inersiya kuchlari;

-ichki kuchlanish kuchlari.

Oxirgi (1.41) tenglamadan faqat aylanish inersiyasi hisobga olinsa,

(1.78)

tenglamaga, faqat ko’ndalang siljish deformatsiyasi hisobga olinsa,

(1.79)

tenglamaga, faqat taqsimlangan kuchlarni hisobga olinsa

(1.80)

tenglamaga ega bo’lamiz.

II-BOB. DOIRAVIY SILINDRIK ELASTIK QOBIQNING

BURALMA TEBRANISHLARINI KLASSIK TENGLAMA

ASOSIDA SONLI TADQIQ ETISH
§2.1 Differensial tenglamalarni yechishning chekli ayirmalar usuli

Plastinkalar va qobiqlar nazariyasining qator masalalari berilgan chegaraviy shartli xususiy xosilali deferensial tenglamalarga keltiriladi. Bu tenglamalar oddiy masalalar hamda chegaralar va tashqi yuklarning oddiy shakllaridagina aniq yechiladilar. Ko’p hollarda aniq yechimlarni topish qiyin bo’ladi. Shuning uchun sonli usullarga murojaat qilinadi. Xususan shunday sonli usullardan biri differensial tenglamalarni tegishli chekli ayirmalar qatnashgan tenglamalar bilan almashtirishdan iboratdir.

Chekli ayirmalar metodining imkoniyati EHM paydo bo’lishi bilan oshib ketdi. Plastinkalar va qobiqlar nazariyasi masalalarini chekli ayirmalar usuli yordamida yechishga doir ilmiy ishlar keskin ko’paydi.

Biz quyida [9] ishdan foydalangan holda chekli ayirmalar usulining asosiy mohiyatini bayon qilamiz.

Xususiy xosilali differensial tenglamalarni taqribiy yechishda to’rlar yoki chekli ayirmalar metodining asosiy g’oyasi quyidagilardan iborat:

• 
  yechim qidirilayotgan G soha to’rli soha bilan almashtiriladi;
  

– berilgan differensial tenglama sohaning ichki nuqtalarida tegishli chekli ayirmalar qatnashgan tenglamalar bilan almashtiriladi;

– chegaraviy shartlar asosida qidirilayotgan yechimning qiymatlari soha tugunlarida topiladi.

Bunday almashtirish natijasida ko’p noma’lumli algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz. Bunda noma’lumlar soni tenglamalr soni va tugunlar soni ko’paytmasiga teng bo’ladi. Bu sistemani yechib izlanayotgan funksiyaning nuqtalardagi sonli qiymatlarini hosil qilamiz. Funksiyaning boshqa nuqtalaridagi qiymatlari interpolyasion formulalardan topiladi.

To’rli sohani tanlash har bir aniq masalaga qarab amalga oshiriladi, biroq hamma vaqt kontur G ni yaxshiroq approksimatsiya qilishga intiladi.

To’rli soha kvadrat, to’g’ri to’rtburchak, uchburchak, oltiburchak va boshqa elementlardan iborat bo’lishi mumkin.

R_n qoldiq hadning qiymatlari alohida elementning o’lchamlaridan bog’liq bo’ladi. Ya’ni o’lchamlar qancha kichik olinsa R_n qoldiq had shuncha kichik bo’ladi. Ammo tugunlar soni ortib ketishi natijasida tenglamalar soni ko’payadi va uni EHM da yechish amalda mumkin bo’lmay qoladi.

Ma’lumki funksiuaning nuqtadagi hosilasi quyidagicha topiladi:

Bu yerda - argumentning chekli orttirmasi, bo’lganda birinchi formulaga o’ng hosila, ikkinchi formulaga esa chap hosila deyiladi.

Yuqorida berilgan formulada limit simvolini tushurib qoldirsak o’ng va chap hosilalar uchun ushbu taqribiy formulalarni olamiz.

(2.1)

Amalda nuqtada markaziy ayirmalardan ham foydalanadi

(2.2)

Ikkinchi tartibli chekli ayirma xosila uchun

(2.3)

formuladan foydalanish qulay. Yuqoridagi (2.2) va (2.3) ifodalar asosida yuqori tartibli chekli ayirmali xosilalar uchun formulani keltirish mumkin

Hosilalarning almashtirishning bu usuli uning aniqligini baholashga imkon bermaydi.

Funksiya hosilalarining uning diskret nuqtalaridagi qiymatlari orqali almashtirib approksimatsiya xatosining bahosini ham beruvchi turli usullar mavjud. Quyida Teylor formulalariga asoslanuvchi usuldan foydalanamiz.
O’ng chekli ayirmali hosila

Teng uzoqlikda joylashgan nuqtalar uchun qiymatlari ma’lum bo’lsin, bunda- o’qi bo’yicha qadam (1-rasm).

(2.4)

kattalikka funksiyaning nuqtadagi o’ng ayirmasi deyiladi.

x

2.1-rasm

Ikkinchi o’ng ayirma esa birinchi ayirmadan olingan ayirma hisoblanadi.

Xuddi shu yo’l bilan yuqori tartibli ayirmalarni ham topish mumkin. Shunday qilib nuqtada -tartibli o’ng ayirmani topish uchun ushbu formuladan foydalanamiz.

(2.5)

Endi nuqtada ayirmali operator va differensial operatorlar orasidagi bog’lanishni aniqlaymiz. Buning uchun va funksiyalar Teylor qatoriga yoyiladi

(2.6)

Ushbu belgilashlarni olamiz u holda

Hosil qilingan bu ifodaga (2.6) formulani ikkinchisini qo’llab quyidagicha yozish mumkin

(2.7)

(2.7) ni (2.4) ga qo’yib quyidagini olamiz

;

Bu yerdan, operatorlar orasidagi quyidagi bog’lanishga ega bo’lamiz.

yoki

; (2.8)

(2.9) ni n-darajaga ko’tarib n-tartibli hosila operatori orasida bog’lanishni topamiz

; (2.9)

(2.9), (2.10) formulalarni amalda tadbiq etish uchun ni bo’yicha qatorga yoyamiz.

(2.10)

Shunday qilib

(2.11)

Bu formula yordamida funksiyaning nuqtadagi xosilasi ixtiyoriy aniqlikda o’ng ayirmalar orqali ifodalash mumkin.

Chap ayirmali hosilalar

funksiyaning nuqtadagi birinchi chap ayirmasi yoki chap ayirmasi deb ushbuga aytamiz.

(2.12)

Bu yerda chap ayirma o’ng ayirmadan farqli ravishda (nabla) bilan belgilandi, yuqori tartibli ayirmalar

(2.13)

Yuqoridagi (2.6) yoyilmani lar uchun ishlatsak:

(2.14)

hosil qilingan (2.14) ni (2.12) ga qo’ysak

U holda va operatorlari orasida bog’lanish topiladi:

yoki (2.15)

ni ning darajalari bo’yicha qatorga yoyib, hosila operatorini chap ayirmalar operatori orqali ifodalaymiz:

(2.16)

n-tartibli chap ayirmali hosilalarni chap ayirmalar orqali (2.15) ni m- darajaga ko’tartish yo’li bilan hosil qilamiz:

(2.17)

Bu yerda ayirma tartibga ega ekanligini ko’ramiz. operatorlar orasida ushbu bog’lanish mavjud

(2.18)

Markaziy ayirmali hosilalar

funksiyaning nuqtadagi birinchi markaziy ayirmasi yoki markaziy ayirmasi deb ushbu ifodagi aytiladi

x

2.2-rasm

(2.19)
Yuqoridagi kabi yuqori tartibli ayirmalarni ham kiritish mumkin.

Masalan,

, (2.20)

Barcha toq tartibli markaziy ayirmalar funksiyaning nuqtalardagi qiymatlari orqali, barcha juft tartibli markaziy ayirmalar esa funksiyaning nuqtalaridagi qiymatlari orqali hisoblanadi. Bunday yozuvdan qutulish uchun o’rtalashgan markaziy ayirma tushunchasi kiritiladi.

O’rtalashtirish operatorini quyidagicha kiritamiz

(2.21)

Buning yordamida birinchi tartibli o’rtalashgan ayirma quyidagicha yoziladi

; (2.22)

O’rtalashgan uchinchi ayirma (1.21) va (1.22) ga asosan

. (2.23)

Barcha toq o’rtalashgan ayirmalar ayirma yuqoridagi kabi topiladi.

operatorlarni o’zaro bog’lash mumkin

bundan

(2.24)

Ikkinchi tomondan funksiyani va nuqtalarda Teylor qatoriga yoyib ushbuni olamiz:

(2.25)

Birinchi tartibli hosila operatori o’rtallashgan markaziy ayirma orqali quyidagicha ifodalanadi

(2.26)

bunda ushbu yoyilmadan foydalanamiz

(2.25) tenglikni hisobga olsak bu ifodani ko’rinishi quyidagicha bo’ladi

Bu ifodani ni darajasini o’sib borish tartibida yozamiz

(2.27)

Oxirgi yoyilmadan foydalanib ixtiyoriy tartibli markaziy ayirmani topish mumkin. (2.27) dan ko’rinadiki yoyilmaning bitta hadining qo’shilishi approksimatsiya aniqligini ga oshiradi. Bundan tashqari markaziy ayirmali hosilalar bir tomonli hosilalarga nisbatan aniqlik darajasi katta .

Yuqori tartibli hosilalarni (2.27) dan uning o’ng va chap tomonlarini - darajaga ko’tarish yo’li bilan hosil qilamiz, bunda juft darajalarda (2.24) ni hisobga olamiz.

(2.28)

Oxirgi formulada bo’lganda

;

;

;

Keltirib chiqarilgan (2.28) formuladan ixtiyoriy tartibli markaziy ayirmali hosilani aniqlashimiz mumkin.

2.2§. Xususiy hosilali differentsial tenglamalarni taqribiy yechish

Xususiy hosilali differentsial tenglamalar haqida.

Ikki noma’lumli o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan u=u(x,y) funktsiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilali differentsial tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz.

(2.29)

Bu yerda x,u erkli o‘zgaruvchilar, u izlanayotgan noma’lum funktsiya, lar x,u erkli o‘zgaruvchilar bo‘yicha birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalar.

(2.29) tenglamaning yechimi deb, uni ayniyatga aylantiruvchi u=u(x,u) funktsiyaga aytiladi. Bu yechim grafigi Oxuu fazoda sirtni ifodalaydi.

Agar (3.29) tenglamada u izlanayotgan noma’lum funktsiya va uning xususiy hosilalari ning darajalari birinchi bo‘lsa hamda ularning ko‘paytmalari ishtrok etmasa bunday tenglamani chiziqli deb ataladi. Uni quyidagicha yozish mumkin:

(2.30)

Bu yerda A,B,S,a,b,s koeffitsentlar o‘zgarmas yoki x,u erkli o‘zgaruvchilarning funktsiyalari bo‘lishi mumkin.

(**) o‘zgarmas koeffitsentli tenglama bo‘lsin. (2.30)tenglama diskriminanti D=AC-B² ni tuzamiz , buning ishorasiga qarab tenglama turini aniqlaymiz:

agar D>0 (2.30) elliptik turdagi tenglama;

agar D=0 (2.30) parabolik turdagi tenglama;

agar D<0 (2.30) giperbolik turdagi tenglama.

1. Agar (2.30) da A=1, B=0, S=1 bo‘lsa, elliptik turdagi Laplas tenglamasi deyiladi. Bu tenglama u=u(x,y) issiqlikni ‘lastinkaning (x,y) nuqtasda vaqtga bog‘liq bo‘lmagan holda tarqalishini ifodalaydi.

2. Agar (**) da A= -a², a=1, B=0,C=0, b=0, c=0 bo‘lsa, bu parabolik turdagi tenglama bo‘lib, u t vaqt birligi ichida x koordinata bilan ingichka bir jinsli sterjen bo‘yicha u=u(x,t) issiqlikni tarqalishini ifodalaydi. F(x,t) –issiqlikni jisim bo‘yicha manbadan tarqalish zichligi bilan bog‘liq funktsiya, agar bu funktsiya ishtrok etmasa bu tenglama birjinsli bo‘ladi. . a- sterjenning fizik xossasiga bog‘liq bo‘lgan o‘zgarmas.
Chekli ayirmalar yoki to‘r usuli

Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli yechimini topishda eng qulay usullardan biridir .

Bu usulining asosida hosilarni chekli ayirmalar nisbati bilan almashtirish qoidasi yotadi .

Aytaylik, Oxy koordinatalar tekisligida chegarasi T chiziq bilan chegaralangan yo‘ik G soha berilgan bulsin. G sohani kesib o‘tuvchi o‘qlarga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar oylasini quramiz :

Bu to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalarni tugunlar deb ataladi. Hosil bo‘lgan turda ikki tugunni qo‘shni tugun deb ataladi. Agar ular biri ikinchisidan OX yoki OU koordinata o‘qlari yunalishida h yoki l masofada joylashgan bo‘lsa G+Г sohaga tegishli bo‘lgan va sohaning chegarasi G dan, qadamdan kichik masofada turgan tugunlarni ajratamiz.

Sohaning biror tuguni va unga qo‘shni bo‘lgan turtta tugun ajratilgan tugunlariga tegishli bo‘lsa, bu tugunni ichki tugun deb ataladi. (2-rasm, A tugun). Ajratilganndan qolganlari chegara tugunlari deb ataladi(2-rasm, B, C tugunlar).

Noma’lum funktsiyaning to‘rning 5 yoki 9 tugunli sxemalarining

tugunlaridagi qiymatini orkali belgilaymiz. Har bir ichki nuqtadagi xususiy hosilalarni ayirmalar nisbati bilan quyidagicha almashtiramiz:

(2.31)

CHegaraviy nuqtalarda esa aniqligi kamroq bo‘lgan quyidagi formular bilan almashtiramiz:

(2.32)

Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli xususiy hosilarni quyidagicha almasht’ramiz:

(2.33)

Yuqorida ketirilgan almatiririshlar xususiy hosilasi tenglamalarni o‘rniga chekli ayrimali sistemasini yechishga olib keladi.

Yuqorida ko‘rsatilgan sohada quyidagi masalani ko‘ramiz.

(2.34)

bu yerda a,c,d,e,g lar x va y larning funktsiyalari. (x_i,y_k) tugunda f(x,y) funksiya va koeffitsentlarni a_ij, b_ij, c_ij, d_ij, g_ij, f_ij, u_ij kabi belngilab, besh nuqtali tugunlar sxemasi bo‘yicha (2.31), (2.32) formulalar asosida chekli ayirmalar yordamida (2.31) tenglamani quyidagicha yozamiz.

a_ik+b_ik+c_ik+

+ d_ik-g_iku_ik=f_{ik (2.35)}

Shuningdek G chegara chiziq funksiyasi asosida chegara tugunlari yoki (0<<1)uchun quyidagi munosabatlarni yozamiz:

yoki

.

Agar tenglama tarkibida ishtrok etsa uni to‘qqiz nuqtali tugunlar sxemasi bo‘yicha chekli ayirmalar bilan quyidagicha almashtirib (2.35) tenglamaga qo‘shamiz.

=

Chekli ayirmalar yordamida (2.34) tenglamani, (x_i,y_k) tugunga nisbatan hosilbo‘ladigan tenglamalar sistemasini quyidagicha yozamiz:

A_i,ku_i,k+B_i,k u _i,k-1+C_i,ku _i,k+D_i,ku_i+1,k+E_i,ku_i,k+1 = f_{i,k (2.36)}

, , ,

,

Farazimizga asosan a(x,u)>0, b(x,u)<0, g(x,u)<0 lar silliq funktsiyalar bo‘lsa,

etarlicha kichik h uchun

g_i,k<0, A_i,k>0, B_i,k>0, C_i,k<0, D_i,k>0, E_i,k>0

bo‘lganda quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:

A_i,k+B_i,k+C_i,k+D_i,k+E_i,k= g_i,k.

Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistema (2.36) si uchun yuqoridagi shartlar bajarilganda bu sohaning ichki tugunlarida sistemani yechimini topishda iteratsiya usulini qullash uchun uni quyidagi ko‘rinishga keltiramiz.

SHuningdek chegaraviy tugunlar uchun

Berilgan boshlang‘ich echim asosida aniq yechimga yaqinlashish jarayonini oddiy iteratsiya usulida quyidagicha hisoblaymiz:

, i=0,1,2,…

Yuqoridagi shartlar asosida bu jarayonni u_i,k aniq yechimga yaqinlashish sharti quyidagicha tanlanadi:

III-BOB

DOIRAVIY SILINDRIK ELASTIK QOBIQNING BURALMA TEBRANISHLARINI SONLI TADQID ETISH.