Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

1-misol.
Ushbu 
2
5
3
2
21
4
x
u
u
u
u
u
u
y
x
yy
xy
xx






tenglamaning turini aniqlang 
va uni kanonik shakla keltiring. 
Yechish: 
Ushbu misolning Maple 17 yordamidagi yechimi quyidagicha. 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 

---

63 
> 
Shunday qilib, berilgan tenglama 
xOy
tekislik boʻylab giperbolik turda va uning 
kanonik shakli quyidagicha ekan 


.
10000
05
,
0
09
,
0
11
,
0
2











u
u
u
u
2-misol.
Ushbu 
x
y
u
u
u
u
u
y
yy
xy
xx
2
5
2
10
25






tenglamaning turini aniqlang 
va uni kanonik shakla keltiring. 
Yechish: 
Ushbu misolning Maple 17 yordamidagi yechimi quyidagicha. 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 

---

64 
Shunday qilib, berilgan tenglama 
xOy
tekislik boʻylab parabolik turda va uning 
kanonik shakli quyidagicha ekan вид 
.
2
,
0
4
,
0
08
,
0
4
,
0








u
u
u
3-misol.
Ushbu 
2
3
5
4
x
u
u
u
u
u
u
y
x
yy
xy
xx






tenglamaning turini aniqlang va 
uni kanonik shakla keltiring. 
Yechish: 
Ushbu misolning Maple 17 yordamidagi yechimi quyidagicha. 
> 
> 
> 
> 
>
> 
> 
> 
> 
> 
> 
Shunday qilib, berilgan tenglama 
xOy
tekislik boʻylab elliptik turda va uning 
kanonik shakli quyidagicha ekan 
.
)
(
2










u
u
u
u
u
4-misol.
Ushbu 
0
2
2
2





y
x
yy
xy
xx
yu
xu
u
y
xyu
u
x
tenglamaning turini aniqlang va 
uni kanonik shakla keltiring. 

---

65 
Yechish: 
Ushbu misolning Maple 17 yordamidagi yechimi quyidagicha. 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
Shunday qilib, berilgan tenglama 
xOy
tekislik boʻylab elliptik turda va uning 
kanonik shakli quyidagicha ekan 
.
0





u
u
Xuddi shunday kichik tartibli hosilali hadlarni ham soddalashtirish mumkin. Na-
tijada hosil boʻlgan sodda tenglama analitik yoki sonli usullar yordamida yechiladi. 
Amaliyotda ko‘p qo‘llaniladigan kanonik shakldagi tenglamalarga misollar: 

Ko‘chirish tenglamasi 
x
t
x
u
F
t
u






))
,
,
(
(
giperbolik turda; 

Muhitning erkin tebranish jarayonini ifodalovchi ushbu

---

66 
toʻlqin tenglamasi giperbolik turda, bu yerda 
u
(
x
,
y
,
z
,
t
) – toʻlgin jarayonini 
ifodalovchi funksiya; 
x
,
y
,
z
– fazoviy koordinatalar; 
c
– shu muhitda toʻlqin tar-
qalishi tezligi; 
t
– vaqt. 

Puasson tenglamasi 








2
2
2
2
)
,
(
)
,
(
y
y
x
u
x
y
x
u
ellipik turda; 

Diffuziya tenglamasi 
2
2
)
,
(
x
t
x
u
k
t
u





parabolik turda. 
Shulardan giperbolik turdagi tenglamalarga biroz to‘xtalaylik. Giperbolik 
turdagi tenglamalar chekli tezlik bilan axborotlar tarqaladigan jarayonlarning bar-
chasida paydo bo‘ladi, masalan, 

eng sodda giperbolik turdagi tenglama – bu ko‘chirish tenglamasi 
u
t
+ 
au
x
=0; 

keng tarqalgan giperbolik turdagi tenglama – bu to‘lqin tenglamasi 
u
tt
= 
c
2

2
u
; 

eng foydali giperbolik turdagi tenglama 
–
bu qovushoqmas Byurgers tenglama-
si (Xopf tenglamasi)
u
t
+ 
uu
x
= 0. 
Giperbolik turdagi tenglamalarga yana boshqa misollar: 

Eylerning nostatsionar tenglamalari; 

tovushdan tez oqim uchun Eylerning statsionar tenglamalari; 

sayoz suvlar tenglamasi; 

ideal magnit gidrodinamikasi tenglamasi; 

elastiklik nazariyasi tenglamasi; 

plastinka va qobiqlarning harakat tenglamalari. 
Tenglamaning xarakteristikalari.
Uch o‘lchovli masalalar uchun xarakteristika 
sirtlari yoki ikki o‘lchovli masalalar uchun xarakteristika chiziqlari odatda Max 
konusi bilan mos tushadi. Sodda misolni qaraylik. Ushbu
4.1–rasm. Bir o‘lchovli 
to‘lqin tenglamalari uchun 
xarakteristikalar. 
2
2
2
2
2
x
u
c
t
u





bir o‘lchovli to‘lqin tenglamasini (torning tebranishi 
tenglamasini) olaylik. Umumiy yechim quyidagicha: 
u
(
x
,
t
) = 
u
1
(
x–ct
)+
u
2
(
x+ct
). 
Bunda 
x

ct
= 
const
xarakteristikalar o‘zgarmas fazali 
nuqralarning ko‘chishini ifodalaydi (4.1–rasm). Sod-
daroq qilib aytganda, xarakteristikalar – bu 
x – t 
tekis-
likda 
dt
t
dx
)
(
 = a (u
(
t
,
x
(
t
)) 
tenglama bilan aniqlanadigan egri chiziqlardir. 

---

67 
Agar 
u
(
t
,
x
) yechim differensiallanuvchan bo‘lsa, u holda u xarakteristikalar 
bo‘ylab o‘zgarmas bo‘ladi. 
Agar Koshi masalasining yechimi differensiallanuvchan bo‘lsa, u holda u 
quyidagicha oshkormas ko‘rinishda beriladi: 
u
= 

(
x
–
a
(
u
)
t
). 
Bu to‘gridan–to‘g‘ri ularning hosilasini hisoblash va ularni tenglamaga qo‘yish 
bilan tekshiriladi: 
u
t
= 

′ ∙ (
–a – t u
t 
a
′)

u
t
= 
–a

′/(1+
 

′ 
a
′ 
t
) ; 
u
x
= 

′ ∙ (1
 – t u
x 
a
′)

u
x
= 

′/(1+
 

′ 
a
′ 
t
) . 
Fizik jarayonlar.
Har xil fizik–mexanik masalalarni matematik modellashtirish 
natijasida xususiy hosilali differensial tenglamalarga kelinadi. Bu tenglamalar va 
tenglamalar sistemasi ko‘pincha bir xil yoki bir biriga yaqin ko‘rinishda yoziladi. 
Asosan klassik masalalarda bunday tasdiqlar saqlanish qonunlari ko‘rinishida 
yoziladi. Bu tasdiqlar asosida asosan quyidagilar yotadi: massa paydo bo‘lmaydi va 
yo‘qolmaydi; impuls, impuls momenti va energiya saqlanadi. Ana shu g‘oyalarni 
qo‘llash orqali kelib chiqadigan xususiy hosilali tenglamalar 
konservativ tenglamalar
deb ataladi.
Xususiy hosilali tenglama fazodagi nuqtalarni, vaqtni va sodda chiziqli 
xossalarni bog‘laydi, bu xususiy hosilali tenglama yoki tenglamalar sistemasini fazo 
va vaqtda to‘lqin holatini tadqiq qilishda tuzish mumkin. Ko‘plab fizik jarayonlar 
(masalan, to‘lqin tarqalishi, ko‘chirish, diffuziya, potensial) juda sodda xususiy 
hosilali tenglamalar bilan ifodalanishi mumkin.
Bunga misollar keltiramiz.