Samarqand davlat universiteti hisoblash mexanikasining sonli

 
4.5. Boshlangʻich va chegaraviy shartlarni sonli approksimatsiyalash. 
Boshlangʻich shartlar. 
Funksiyaning 1 nomerli vaqt qatlamidagi qiymatini topish uchun 
ayirmali sxemadan foydalanishda funksiyaning 
k 
= – 1 soxta qatlamdagi 
noma’lum 
1

i
u
qiy-matini topish lozim boʻladi. Bu quyidagicha bajariladi. 
)
(
)
0
,
(
0
x
x
u
t


boshlangʻich shartdagi 
u
t
vaqt boʻyicha hosila birinchi tartibli 
aniqlikka ega quyidagi ayirma bilan almashtiriladi: 
)
(
0
1
0
i
i
i
x
u
u





.
(4.8) 
(4.2) tengliklarning 
k 
= 0 da yozildan ifodasi va (1.8) dan 
1

i
u
ni 
yoʻqotib, vaqtning birinchi qatlamida funksiyaning qiymatini topish 
tenglamasiga kelamiz: 






.
)
(
2
1
1
0
0
2
0
1
2
0
2
0
1
2
1
1
i
i
i
i
i
i
x
f
u
C
u
C
u
C
u















(4.9) 

---

80 
Bu yerda 
C
= 
2
2
/
h

. Vaqtning birinchi qatlamida funksiyaning qiymati-
ni boshlangʻich shartdan topamiz: 
)
(
0
0
i
i
x
u
u

. 
Chegaraviy shartlar. 
Birinchi tur chegaraviy shartlarning ayirmali approksimatsiyasi 
quyidagicha: 
)
(
1
1
1
0



k
k
t
u
u
;
).
(
1
2
1



k
k
N
t
u
u
(4.10) 
Ikkinchi tur chegaraviy shartlarning 
0
x
va 
N
x
nuqtalardagi ayirmali ap-
proksimatsiyasini ikkinchi tartibli aniqlik bilan quyidagicha yozamiz: 
)
(
2
1
1
1
k
k
k
t
h
u
u




;
)
(
2
2
1
1
k
k
N
k
N
t
h
u
u





. 
Bu yerdan 
k
u
1

, 
k
N
u
1

larni ifodalab, (4.2) va (4.9) tenglamalarni mos 
ravishda 
i 
= 0 va 
i 
= 
N
tugunlarda yozib, funksiyaning soha chap va oʻng 
chegaralaridagi qiymatlarini hisoblashning quyidagi ifodalariga kelamiz: 

birinchi vaqt qatlamida: 














1
)
(
)
(
2
2
2
1
0
0
0
0
2
0
1
2
0
1
2
0
0
2
1
0
x
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
; (4.11) 















1
)
(
)
(
2
2
1
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
1
2
1
N
N
N
N
N
x
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
; 
(4.12) 

vaqtning keying qatlamlarida (
1

k
): 




















1
)
(
2
2
2
1
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
0
1
0
k
k
k
k
k
k
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
u
; (4.13) 





















1
)
(
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
k
N
k
k
N
k
N
k
N
k
N
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
u
. (4.14) 
Uchinchi tur chegaraviy shartlarning ayirmali approksimatsiyasi: 
)
(
2
1
0
1
1
k
k
k
k
t
p
u
h
u
u





; 
)
(
2
2
1
1
k
k
N
k
N
k
N
t
p
u
h
u
u





. 
U holda (4.2) va (4.9) tenglamalardan quyidagilarga ega boʻlamiz: 

birinchi vaqt qatlamida: 















1
)
(
)
(
2
2
)
1
(
2
1
0
0
0
0
2
0
1
2
0
1
2
0
0
2
1
0
x
f
t
hp
C
u
C
u
C
h
u
; (4.15) 


;
1
)
(
)
(
2
)
1
(
2
1
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
1
2
1














N
N
N
N
N
x
f
t
hq
C
u
C
h
u
C
u
(4.16) 

---

81 

vaqtning keying qatlamlarida (
1

k
): 





















1
)
(
2
2
2
)
1
(
1
2
1
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
0
k
k
k
k
k
k
t
hp
C
f
u
C
u
C
h
u
u
; (4.17) 
.
1
)
(
2
2
)
1
(
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1






















k
k
N
k
N
k
N
k
N
k
N
t
hp
C
f
u
C
h
u
C
u
u
(
4.18) 
Uchinchi tur chegaraviy shartlar uchun ustivorlik sharti quyidagich: 
h
C


1
1
. 
4.6. Silindrik koordinatalar sistemasida yozilgan tenglama uchun ayirmali 
sxemani qurishning oʻziga xos xususiyatlari. 
Silindrik koordinatalar siste-
masida quyi-dagicha yozilgan gi-
perbolik tenglamani qaraylik: 
 
).
,
(
1
t
r
f
ru
r
u
r
r
tt


(4.19) 
Bu tenglamaga mos ayirmali 
sxemani qurish uchun quyidagi 
shablondan foydalanamiz: 
i, k
+1
 
i
+1
, k 
i, k
–1
 
i
–1
, k 
i, k 
i 
– 0.5
 
i 
+ 0.5
 
Bu yerda ham, xuddi yuqoridagidek, vaqt va fazo boʻyicha hosilalarni 
quyidagicha ayirmali sxemalarga approksimatsiyalaymiz: 
2
1
1
2






k
i
k
i
k
i
tt
u
u
u
u
;
   
 





h
ru
ru
ru
i
r
i
r
r
r
5
.
0
5
.
0
.
)
(
2
1
5
.
0
5
.
0
5
.
0
1
5
.
0
1
5
.
0
1
5
.
0
h
u
r
u
r
r
u
r
h
h
u
u
r
h
u
u
r
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i


















Bunda 


i
i
i
r
r
r




1
5
.
0
2
1
. U holda (4.19) ayirmali sxema quyidagicha yoziladi: 
,
2
1
5
.
0
2
5
.
0
5
.
0
2
1
5
.
0
2
1
1

k
i
k
i
i
i
k
i
i
i
i
k
i
i
i
k
i
k
i
f
u
r
r
C
u
r
r
r
C
u
r
r
C
u
u






















.
1
1



N
i
(4.20) 
Bu yerda ham chegaraviy shartlar xuddi yuqoridagi hollardek, ammo 
r
0
= 0 
chap chegarada simmetriya sharti oʻrinli ekanligini yoddan chiqarmaslik kerak, ya’ni 
bunda 
0

r
u
simmetriya sharti beriladi. Bu yerda yuqoridagi ayirmali tenglamadan 
i
= 0 hol uchun foydalanib boʻlmaydi, chunki 
r
= 0 nuqta maxsuslikka ega. Shuning 
uchun (4.19) tenglamani 
)
,
(
1
t
r
f
u
u
r
u
rr
r
tt



kabi yozib olib, bu maxsuslikdan quti-

---

82 
lish mumkin. Bunda 
r
→0 da Lopital qoidasidan foydalanib 
r
u
r
1
aniqmaslikni 
r
= 0 
nuqta uchun ochamiz va quyidagi tenglamaga kelamiz:
).
,
(
2
t
r
f
u
u
rr
tt


(4.21) 
Endi (4.20) tenglama va 
0
0


r
r
u
chegaraviy shartning 
i
= 0 nuqta uchun 
ayirmali sxemalarini yozib, izlanayotgan fuksiyaning shu nuqtadagi qiymatini topish-
ning quyidagi ayirmali ifodasini hosil qilamiz:


k
k
k
k
k
f
u
C
u
C
u
u
0
2
0
2
1
2
1
0
1
0
2
1
2
4











,
1

k
; 
(4.22) 


k
f
u
C
u
C
u
0
2
0
0
0
2
0
1
2
1
0
)
0
(
4
1
4










,
0

k
.
Bu holda ayirmali sxemaning ustivorlik sharti quyidagicha 
.
2
1

C