|
1–misol.
u
t
+
au
x
= 0 tenglamaning oqimga qarshi ayirmasi quyidagicha:
(
u
i
n
+1
–
u
i
n
)/∆
t
+
a
(
u
n
i
–
u
n
i
–1
)/∆
x
= 0;
u
i
n
+1
=
u
i
n
–
σ
(
u
n
i
–
u
n
i
–1
);
σ = a
∆
t
/∆
x
;
û
k
n
+1
=
û
k
n
–
σ
(
û
n
k
–
e
–ik∆x
û
n
k
)
g
= 1 –
σ + σ
e
–ik∆x
gg
*
= 1 – 4
σ
(1 –
σ
)sin
2
(
k
∆
x
/2).
Ustivorlik sharti – bu Kurant–Fridriks–Leva sharti:
σ = a
∆
t
/∆
x
≤ 1.
2–misol.
u
t
+
au
x
= 0 tenglamaning oqim bo‘ylab ayirmasi quyidagicha:
(
u
i
n
+1
–
u
i
n
)/∆
t
+
a
(
u
n
i
+1
–
u
n
i
)/∆
x
= 0;
g
= 1 +
σ
–
σ
e
ik∆x
gg
*
= (1+
σ
)
2
+
σ
2
– 4
σ
(1 +
σ
)cos
2
(
k
∆
x
/2) > 1.
Demak bu sxema doimo noustivor.
3–misol.
u
t
+
au
x
= 0 tenglamaning markaziy ayirmasi quyidagicha:
(
u
i
n
+1
–
u
i
n
)/∆
t
+
a
(
u
n
i
+1
–
u
n
i
–1
)/(2∆
x
) = 0;
g
= 1 –
iσ
sin(
k
∆
x
)
gg
*
= 1+
σ
2
sin
2
(
k
∆
x
) > 1.
Demak bu sxema doimo noustivor. Bunga sabab qaralayotgan sxemaning mos
emasligi. Agar uning o‘rniga Laks sxemani qarasak, u holda quyidagi ustivor
sxemaga ega bo‘lamiz:
u
i
n
+1
=
0,5(
u
n
i+1
+
u
n
i
–1
) –
a
∆
t
(
u
n
i
+1
–
u
n
i
–1
)/(2∆
x
);
Sxemaga furye–modani qo‘ysak,
g
= cos(
k
∆
x
) –
iσ
sin(
k
∆
x
)
gg
*
= 1– (1–
σ
2
)sin
2
(
k
∆
x
) ≤ 1
Ustivorlik sharti (Kurant–Fridriks–Leva sharti):
σ = a
∆
t
/∆
x
≤ 1 yoki ∆
t
≤ ∆
x
/
a
.
Yaqinlashuvchanlik.
Taqribiy yechim aniq yechimga yaqinlashadi, agar ∆
t
→0
va
n
∆
t
→
T
bo‘lganda ||
u
n
–
u
e
n
||→0 bo‘lsa.
Ekvivalentlik haqidagi Laks teoremasi.
Uni quyidagicha sxemalashtirish
mumkin:
Approksimatsiya + Ustivorlik = Yaqinlashuvchanlik
Boshqacha aytganda:
||
u
n
–
u
e
n
|| ≤ ||
Lu
n
–1
–
Lu
e
n
–1
|| + ||
Lu
e
n
–1
–
Lu
e
n
|| ≤ ||
u
n
–1
–
u
e
n
–1
|| +
+ ∆
t
(Σ
p+q=l
∆
x
p
∆
t
q
) ≤ ||
u
0
–
u
e
0
|| +
n
∆
t
(Σ
p+q=l
∆
x
p
∆
t
q
)
Izlanayotgan yechimga ∆
t
→0 va
n
∆
t
→
T
bo‘lganda erishiladi.
84
Laks teoremasi faqat chiziqli ayirmali sxemalar uchun o‘rinli.
Giperbolik turdagi ushbu
0
x
F
t
u
tenglama uchun
(bunda
F=F
(
u
),
masalan
F=vu
,
=a
t
/
x
;
g
– o‘tish ko‘paytuvchishi):
Birinchi tartibli aniqlikka ega oshkor usul
:
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
1
1
1
2
;
g
=1+
i
sin(
k
x
).
Bu ayirmali sxema doimo noustivor.
Laks usuli
:
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
u
1
1
1
1
1
2
2
1
;
g
=cos(
k
x
)+
i
sin(
k
x
).
Bu ayirmali sxema
t
x
/
a
da ustivor.
Lelevye usuli
:
n
i
n
i
n
i
n
i
au
au
x
t
u
u
)
(
)
(
1
1
, agar
0
n
i
a
;
n
i
n
i
n
i
n
i
au
au
x
t
u
u
1
1
)
(
)
(
, agar
0
n
i
a
;
g
=1–
+
cos(
k
x
)+
i
sin(
k
x
). Bu ayirmali sxema
t
x
/
a
da ustivor va uni
faqat ko‘chirish tenglamasi uchun qo‘llash mumkin.
Laks–Vendroffning ikki qadamli usuli
:
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
u
1
1
1
2
/
1
2
/
1
2
1
;
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
1
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
;
g
=1–
i
sin(
k
x
)+
2
[cos(
k
x
)–1]. Bu ayirmali sxema
t
x
/
a
da ustivor.
Laks–Vendroffning bir qadamli usuli
:
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
1
1
1
2
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
C
F
F
C
x
t
1
2
/
1
1
2
/
1
2
2
2
,
bu yerda
C
– yakobian;
C
=
u
F
va
n
i
n
i
n
i
u
u
C
C
1
2
/
1
2
1
;
g
=1–
i
sin(
k
x
)+
2
[cos(
k
x
)–1]. Bu ayirmali sxema
t
x
/
a
da ustivor.
«Sakrab qadamlash» usuli
:
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
1
1
1
1
;
g
=
i
sin(
k
x
)
)
(
sin
1
2
2
x
k
.
Bu ayirmali sxema
t
x
/
a
da ustivor.
Kvaziikkinchi tartibli aniqlikka ega usul
:
1
1
1
1
1
1
1
2
)
5
,
0
(
2
5
,
1
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
F
F
x
t
u
u
.
Bu ayirmali sxema
0,5 da ustivor, agar
>0,25
2
+0,5
4
, ya’ni aynan
t
x
/
a
,
agar
4
4
4
2
2
2
2
4
x
a
t
x
a
t
.
85
5-bob.
GIPERBOLIK TURDAGI
BIR OʻLCHOVLI KOʻCHIRISH
TENGLAMASINI NOTEKIS TO'R YORDAMIDA SONLI YECHISH
5.1. Notekis toʻr tushunchasi.
Toʻrli sohani qurish.
Faraz qilaylik, dastlabki soha
D
={
T
t
l
x
0
,
0
}. Uni
toʻrli soha bilan approksimatsiyalaymiz:
,
{
i
h
x
w
n
i
,
0
,
,
1
i
i
i
x
x
h
,
1
1
i
i
i
x
x
h
2
1
i
i
i
h
h
- oʻrtacha qadam}-
x
boʻyicha toʻr;
,
{
j
t
w
0
,
0
j
j
,
,
1
j
j
j
t
t
,
1
1
j
j
j
2
1
j
j
i
- oʻrtacha qadam}-
t
boʻyicha toʻr.
U holda bizga kerakli notekis toʻr quyidagicha:
w
w
w
h
h
.
Ana shu toʻrda
x
boʻyicha birinchi tartibli differensial operatorlarni ap-
proksimatsiyalaymiz:
1
1
~
i
i
i
h
y
y
dx
du
-
x
boʻyicha oʻng ayirmali hosila; (5.1)
i
y
- toʻr funksiya;
i
i
i
h
y
y
dx
du
1
~
-
x
boʻyicha chap ayirmali hosila; (5.2)
i
i
i
h
y
y
dx
du
2
~
1
1
-
x
boʻyicha markaziy ayirmali hosila; (5.3)
)
1
(
)
(
~
1
1
i
i
i
h
y
y
dx
du
i
i
i
h
y
y
1
-
vaznli approksimatsiya; (5.4)
Endi ana shu toʻrda
t
boʻyicha birinchi tartibli differensial operatorlarni ap-
proksimatsiyalaymiz:
1
1
~
j
j
j
y
y
dt
du
-
t
boʻyicha oʻng ayirmali hosila; (5.5)
j
j
j
y
y
dt
du
1
~
-
t
boʻyicha chap ayirmali hosila; (5.6)
j
j
j
y
y
dx
du
2
~
1
1
-
t
boʻyicha markaziy ayirmali hosila; (5.7)
Ana shu toʻrda
x
va
t
boʻyicha ikkinchi tartibli differensial operatorlarni ap-
proksimatsiyalaymiz:
i
i
i
i
i
i
i
h
y
y
h
y
y
dx
u
d
1
1
1
2
2
1
~
; (5.8)
i
j
j
j
j
j
j
y
y
y
y
dt
u
d
1
1
1
2
2
1
~
; (5.9)
x
boʻyicha birinchi tartibli hosilalar approksimatsiyasining xatoligini
86
koʻrsataylik.
Buning uchun yechimning xatolik funksiyasini quyidagicha kiritamiz
.
i
i
i
u
y
z
Bundan
i
i
i
u
z
y
va uni (2.1) ga qoʻyamiz.
Quyidagiga ega boʻlamiz:
1
1
i
i
i
h
y
y
=
i
i
i
i
h
z
z
1
1
,
1
1
i
i
i
i
h
u
u
Ushbu
1
i
u
funksiyani Teylor formulasi boʻyicha qatorga yoyamiz:
)
(
0
2
3
1
2
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
h
u
h
u
h
u
u
,
va uni
i
ga qoʻyamiz. U holda
1
3
1
2
1
1
)
(
0
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
h
u
h
u
h
u
h
u
)
(
0
2
2
1
1
i
i
i
i
h
u
h
u
, (5.10)
Bu yerdan birinchi tartibli approksimatsiyaga ega boʻlamiz
)
(
0
1
i
i
h
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
