Samarqand davlat universiteti fizika fakulteti

d/dl ifoda potensialning yo‘nalish bo‘yicha hosilasini bildiradi. U son jihatdan potensial o‘zgarishining dl uzunlik yo‘nalishdagi qiymatiga teng bo‘ladi.

Demak uning absolyut qiymati potensialning qaralayotgan yo‘nalishda o‘zgarish tezligini xarakterlaydi, ishorasi esa shu yo‘nalishda oshish yoki kamayishni bildiradi. Potensial o‘zgarishning kuchlanganlik vektori yo‘nalishidagi o‘zgarish xarakteri boshqa yo‘nalishlarga nisbatan nima bilan farq qiladi? Bu savolga javob berish uchun formulani vektori yo‘nalishi uchun yozamiz. Bu yo‘nalish uchun E_l=E u holda

,

bundan kelib chiqadiki, vektor yo‘nalishida potensial kamayadi: (E>0, dl>0, demak, d<0), shu bilan birga tezroq kamayadi. Shunday qilib kuchlanganlik vektori potensialning eng ko‘p kamayishi tomon yo‘nalgan bo‘ladi. Yuqoridagi formulani x, y, z yo‘nalishilari bo‘yicha dekart koordinatasida yozamiz, kuchlanganlik vektorining E_x, E_y, E_z proyeksiyalarini aniqlaymiz

, , ,

, va lar  (x, y, z) – skalyar kattalikning gradient ostida va grad belgisi bilan begilanadi. Kuchlanganlik vektori manfiy potensial gradienti orqali ifodalanadi:

,

Yuqoridagi formulalar maydon kuchlanganligini hisoblashga imkoniyat beradi, buning uchun potensialni topish va uni koordinatalar bo‘yicha differensiallash kerak. Bu superpozitsiya prinsipiga nisbatan ham qulaydir.

Potensialning bir xil qiymatlarining geometrik o‘rniga ekvipotensial sirt deb ataladi. Kuchlanganlik chiziqlari va ekvipotensial sirtlar bir biriga ortoganaldir, ya’ni har qanday kuchlanganlik chiziqlari har qanday ekvipotensial sirtni to‘g‘ri burchak ostida kesib o‘tadi. Haqiqatdan ham ixtiyoriy kuchlanganlik chizigining ekvipotensial sirt bilan kesishgan nuqtasini qaraymiz .Ekvipotensial sirt bo‘yicha ko‘chganda potensial o‘zgarmaydi u vaqtda qaralayotgan nuqtada istalgan yo‘nalish uchun d=0 bo‘ladi (ekvipotensial sirtga urinma bo‘lgan yo‘nalishda). Bu yo‘nalishlar bo‘yicha maydon kuchlanganlik vektorining proyeksiyasi nolga teng bo‘ladi, ya’ni kuchlanganlik vektori ekvipotensial sirtga perpendikulyar bo‘ladi. Maydon kuchli bo‘lgan joylarda ekvipotensial zichroq joylashadi. Ekvipotensial sirtlar oilasini chizishda shunday shart qabul qilinadiki, har bir sirtda potensial birlik potensialga o‘zgaradi.

Oqim haqidagi Gauss teoremasiga va sirkulyatsiyaga asosan elektrostatik maydonning eng muhim xossasini aniqlaydi va elektrostatik maydonning vakuumdagi tenglamasining integral ko‘rinishini ifodalaydi.

,



,

Lekin amaliyotda differensial tenglama bilan ish kuriladi. Gauss teoremasining differensial ko‘rinishi va sirkulyatsiya teoremasi , ifodaga ko‘ra elektrostatik maydon tenglamalari differensial shaklda quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

,

,

Bu ikki tenglamadan potensial uchun yagona tenglama kelib chiqadi.

,

Xususiy hosilali bunday differensial tenglamaga matematikada Puasson teglamasi deyiladi.

Zaryadlar bo‘lmagan istalgan nuqtada, xususan vakuumda =0 va Puasson tenglamasi Laplas tenglamasiga o‘tadi:

Mana shu differensial tenglamani elektrostatik maydonning vakuumda potensialini aniqlashda ko‘p qo‘llaymiz.