Russian Mathematics Education

Extracurricular Work in Mathematics

401

of first- and second-year problems may be found in Fomin et al. (1996).

According to our observations, for the first two or three years with the

same group of students, mathematics circles usually adhere, to a greater

or lesser degree, to the topics and types of problems presented in this

book. Subsequently, both the topics and the format used for working

with the students begin to vary in accordance with the instructor’s

personal preferences (to repeat, a mathematics circle may function from

grade 5 to grade 11).

As an example, consider the circles of the Physics and Mathematics

Center of Lyceum 239 in St. Petersburg. Their participants are students

of ages 10–17 (grades 5–11). Thus, a student may attend the same

mathematics circle continuously for up to seven years (although, natu-

rally, some mathematics circles may be formed later). The mathematics

circles of the Physics and Mathematics Center meet twice a week, once

basic school classes end. These meetings may occur in a variety of

different formats; for example, they may be organized as:

• Lectures on theory;

• Individual problem solving;

• Discussions on solutions to problems with teachers;

• Solving problems collectively, in groups;

• Analysis of solutions by the instructor;

• Interviews and exams on theory;

• Seminars;

• Student reports, summaries, and independent projects and

research;

• Mathematical competitions.

Mathematics circles (especially the strongest ones) consume much

time. The program of a mathematics circle is meant to last for approx-

imately 140–150 hours of “general sessions” per year. However, to

this must be added no fewer than 80–90 hours of so-called “Olympiad

preparation sessions.” A single session of a mathematics circle can often

last for four hours.

Each session begins with thoroughly hearing out each child’s

solutions to all the problems assigned to him or her at the end of the

previous session. Such work requires the participation of a large number

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch09

402

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

of volunteers — usually older schoolchildren or university students who

serve as assistants to the teacher of the mathematics circle. After this,

the teacher presents the solutions to the problems on the blackboard,

with requisite theoretical commentary.

The sessions are devoted to solving problems in number theory,

graph theory, combinatorial problems and problems about games,

geometric problems, problems involving inequalities, and so on. From

a certain point on, instructors begin inserting sections on theory

that resemble (at least in terms of their content) what is ordinarily

studied in universities. Students acquire a thorough grounding in

geometric transformations (including inversions, affine and projective

transformations), discrete mathematics, groups, rings, fields, calculus,

elementary general topology and functional analysis, and combinatorial

geometry.

As an example, consider the content of the sections on “Elementary

Topology” and “Elementary Functional Analysis”:

The topology of the real number line. Topological definitions of the

limit and continuity on the real number line. Compactness on the

real number line. The general definition of a topological space. Sep-

arability axioms, connectedness axioms. Compactness. Topological

definitions of the limit and continuity. Homeomorphisms. Metric

spaces.

Complete metric spaces. Quotient spaces of topological and metric

spaces. Normed spaces. Banach spaces. Closed graph theorem. Open

mapping theorem. Hahn–Banach theorem. Geometric and analytic

application of topological ideas and methods.

We should stress, again, that mathematics Olympiads and other

competitions lie outside the scope of this chapter. However, they

occupy a very prominent place in the activities of mathematics circles,

not only as points of reference, sources of problems, and measurements

of achievements, but also as a continuous form of work. Olympiads

among mathematics circles are a regular occurrence, as are “math

battles” within a single mathematics circle and among different circles,

and so on. All of this undoubtedly contributes to the formation of

future winners of national and international Olympiads.

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch09

Extracurricular Work in Mathematics

403

It must also be stressed, again, that mathematics circles vary. Not all

mathematics circles, even if they are attended by students drawn from a

whole city, achieve the highest results. On the other hand, it would not

be mistaken to say that the system of mathematics circles, say, within

the city of St. Petersburg every year produces about 10 (sometimes

more, sometimes less) almost fully formed young mathematicians with

a mathematical education that is very good for their age. To this must

be added the annual inflow of literally hundreds of students from

mathematics circles into specialized mathematics schools, the core of

whose student bodies is largely composed of these students.