Russian Mathematics Education

4

Features of Contemporary Approaches to the

Study of Finite Mathematics in Russian Schools

The integration of combinatorics, probability, and statistics into the

general mathematics curriculum “for all” and the outlined objectives

imply a change in the traditional approach to teaching the subjects.

Special attention must be paid to the preparatory stage, where students

are first introduced to the concepts of combinatorics, probability, and

statistics. Below, we will consider approaches proposed by the present

author (1994–1997) and largely endorsed by the authors of the major

textbooks in use today, as can be seen from their collective article

(Bunimovich, Bulychev, Tyurin, Makarov, Vysotsky, Yaschenko, and

Semenov, 2009) setting out the general approaches to teaching the

new material.

The combinatorial component of the stochastics curriculum is the

most familiar of the three to the audience in terms of methodology

and teaching structure, and it comes closest to the traditional system

of material presentation. Once again, the most novel addition is the

preparatory stage, i.e. visual preformula combinatorics.

To solve problems in combinatorics, students aged 10–13 first of

all use the method most natural and accessible to their age group:

systematic enumeration of variants. At the preparatory stage, solving a

problem in combinatorics means writing out all possible combinations

of numbers, words, objects, etc., as the problem requires. This type

of exercise teaches students the usefulness of enumeration of different

kinds of combinations.

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch06

248

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

This approach to combinatorics, as opposed to the “formula-

based” approach, allows the class to consider a far broader range of

combinatorial problems, not limited to the basic formulas for the

number of possible permutations and combinations, but also including

combinations with repetitions and enumeration with different restric-

tions, while at the same time allowing a shift in focus to the most

difficult part of solving problems in combinatorics: formalization of

the problem and construction of a suitable model.

Different organizational methods for systematic enumeration are

covered — e.g. ascending (number), alphabetical (letter) — as well

as enumeration using a special graphing technique: a tree of possible

variants, which provides a convenient starting point for systematic

enumeration. Diagrams and coding techniques not only simplify

notation but also touch on some of the essential issues in mathematics,

such as mathematical modeling and universality of mathematical

techniques.

The proposed methodology may be better understood through an

example of coding and enumeration of possible variants drawn from

the textbook Mathematics 6 (Dorofeev and Sharygin, 1997, p. 249):

Eight friends meet and all shake hands. How many handshakes did

the friends exchange?

To solve this problem, students use a two-step coding process. First,

every friend is assigned a number from 1–8. Then, every handshake

can be coded as a two-digit number, made up of numbers from 1–8.

It is important that the meaning of this “coding” is not lost in the

process; for example, the students must understand that the number

47 denotes the handshake between the fourth and the seventh friend.

It is important to explain why a handshake code 33 is impossible in

this situation: it would mean that one of the friends shakes his own

hand; or that the codes 68 and 86 denote the same handshake, and

consequently only one of these numbers must be counted (for example,

only the smaller). Next, the students are asked to count all possible

two-digit numbers, composed of numbers from 1–8, where the first

digit is smaller than the second. It makes sense to write them out in an

ascending order, which yields the following “triangle,” giving us the

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch06