Russian Mathematics Education

Combinatorics, Probability, and Statistics in the Russian School Curriculum

251

the students, who have by now developed certain stereotypical notions

about the learning process, but often even for the teacher.

Let us examine a solution strategy for a problem from Mathematics

5 (Dorofeev and Sharygin, 2001) found in the teacher’s guide for the

textbook (Suvorova et al., 2001, p. 92):

Using personal experience, evaluate the chances of the following

random events and determine which would be the most probable:

(a) No one will call you between 5 am and 6 am;

(b) Someone will call you between 5 am and 6 am;

(c) Someone will call you between 6 pm and 9 pm;

(d) No one will call you between 6 pm and 9 pm.

Problems of this sort expose your students to general statistical

patterns as well as to personal peculiarities, which will result in

differences of individual answers to the same question. Because phone

calls are generally rare early in the morning, chances of (b) are

extremely low, it has negligible probability — a practically impossible

event; whereas (a) is highly likely — it is practically a fact. The evening

hours are, on the contrary, a time of high “telephone activity”; thus,

for most people, option (c) will be more probable than option (d);

although if a person generally receives very few phone calls, (d) may

turn out to be more probable than (c).

As has been said already, one of the main features of the adopted

methodology is the statistical approach to the concept of probability,

as the most immediate and grounded in the students’ experience. The

probability of a random event is evaluated with respect to its relative

frequency, which is derived from empirical data. This approach requires

students to gather the necessary data as part of the learning process.

Moreover, to stabilize frequency, an experiment must be repeated a

sufficiently high number of times.

The staging and conducting of experiments is an integral part of

solving problems in probability. At the first stage, these are actual

experiments with real objects. At later stages, students are expected

to model experiments with random outcomes using a computer.

Real-world application is likewise the leading aspect of the sta-

tistical component. To illustrate this, let us examine two sample

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch06

252

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

problems/mini-investigations from the textbook Mathematics 9

(Dorofeev, 2000, p. 308):

1. It is known that “o” is the most commonly used vowel in the

Russian language. Read over the following excerpt from the

poem The Bronze Horseman, by Alexander Pushkin [a commonly

anthologized excerpt, beginning with the lines “Upon the shores

of desolate tides ….”].

(a) Does this excerpt confirm the claim made at the start of the

problem?

(b) Compare the relative frequency of the [cyrillic] letters “y” and

“u” in this poem.

(c) Construct a diagram showing the relative frequencies of all

vowels appearing in this excerpt.

2. A television station has conducted a poll among young people in

order to determine typical viewing times. A total of 1000 people

participated in the survey. The correlation between time of day

and number of viewers is shown in the histogram (Fig. 1).

(a) At what times does the number of viewers exceed 500? The

total period of time when viewership exceeds 500 makes up

what percentage of the total broadcast time?

(b) How many people on average watch television for over an

hour between the hours of 4 pm and 7 pm? What percentage

of the total number of participants do they make up?

(c) Determine the average number of viewers per hour.

The most important, most obvious, and sometimes the only possible

means of solving a problem in probability and statistics is a computer.

The following sample problems may serve to illustrate this point

(Bunimovich and Bulychev, 2004):

1. Two people take turns tossing a coin: the first person to get

“heads” wins. Evaluate the probability of victory for the first and

the second player. To this end, conduct several experiments (as

many as you think necessary), using (a) a table of random numbers,

(b) a computer.

2. A pencil lead is arbitrarily broken into three pieces. What is the

probability that these fragments will be able to form a triangle?

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch06

Combinatorics, Probability, and Statistics in the Russian School Curriculum

253

Fig. 1.

Find the answer through random modeling using (a) a table of

random numbers, (b) a computer.

3. Eight passengers are riding in a bus that must make 10 stops.

Each passenger has an equal chance of getting off at any one of

the stops. Model a series of routes for such a bus using (a) a table of

random numbers, (b) a computer. Use your model to determine

the probability of the following events:

A

= {all passengers get off at different stops};

B

= {all passengers will get off at the same stop};

C

= {somebody will get off at the fifth stop};

D

= {nobody will get off at the fifth stop};

E

= {somebody will get off at the first stop}.