Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

help them learn simple and effective techniques for solving problems,

especially algebraic equations.

Without presenting any fundamental difficulties, the study of

polynomials gives students the possibility of solving many problems

that belong to all other parts of the course. In particular, this theoretical

content can be effectively used in solving problems connected with

prime and composite numbers, while the ability to find the rational

roots of polynomials with integer coefficients allows the students not

to be too afraid of cubic equations and higher-degree equations —

in many cases, to stop relying on the art of grouping (i.e. heuristic

techniques) and to make use instead of the algorithmic methods of the

theory of polynomials; to simplify standard proofs; and so on.

It should also be noted that the study of polynomials provides a

fitting conclusion to the generalization of the concept of number, while

the parallelism between the theory of polynomial factorization and the

outwardly very different theory of integer factorization, unexpected

for the students, is important from a general educational and general

cultural point of view.

Let us consider some examples pertaining to this topic. The

following problem provides a useful illustration:

Is the expression

1

x

2

+1

a polynomial?

This problem calls for a well-founded answer. Naturally, the main

point here is for students to grasp the concept of a polynomial in

a substantive sense, and therefore excessive attention to formalities

in defining this concept is unlikely to be fruitful. Attempts to give

a logically impeccable definition of a polynomial will merely lead to

formulations with which probably not even all professional mathe-

maticians are familiar. On the other hand, in trying to identify a

polynomial among other expressions, a logically developed student

must understand that, strictly speaking, this cannot be judged merely by

the external form of an expression. Thus, for example, the expression

1

x

2

+1

is not a polynomial not because there do not appear to be any

algebraic transformations that can be used to put it into the appropriate

form, but because there actually are no such transformations. Indeed,

supposing that the given expression is a polynomial, then from the

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

183

equality

1

x

2

+1

= f(x), where f is a polynomial of degree n, there would

follow the equality 1

= (x

2

+ 1)f(x); but this equality is impossible,

since its left-hand and right-hand sides have different degrees.

The algorithm for searching for rational roots must be worked

on until it becomes a familiar skill. Students must not experience

difficulties when they encounter problems of the following type:

• Find all the roots of the following polynomial:

3x

6

− 14x

5

+ 28x

3

− 32x

2

− 16x + 16 = 0.

• Factor the polynomial f(x) = 3x

4

− 2x

3

− 9x

2

+ 4 into linear

factors.

When studying divisibility and division with a remainder, there is no

need, for most polynomials, to list completely, much less to memorize,

the criteria of divisibility. On the contrary, it is far more useful to

emphasize to the students that many properties of the divisibility of

integers that are known to them are present in the divisibility of

polynomials as well. But the students must also be asked to prove

these properties (or some part of them) on their own, and in the

process of formulating these proofs they will conclude for themselves

that the arguments differ only because of their terminology and

symbolism.

Another theme that distinguishes the advanced course from the

basic one is connected with the concept of a symmetric polynomial. In

our view, students who have chosen the advanced course could have

already learned at the basic-school level how to solve various problems

that require only identity transformations aimed, to put it in a lofty

way, at expressing any symmetric polynomials in terms of elementary

symmetric ones. Note that various ordinary identity transformations

effectively constitute the central content of algebra in basic school, but

are often lacking in ideas and aimed mainly at simplifying expressions.

Such a situation even compromises mathematics to some degree in the

eyes of the students: it almost seems as if someone had deliberately

complicated simple expressions to create difficulties for students.

Meanwhile, the concept of the symmetric polynomial makes it possible

to introduce substantive problems of another type. For example,

expressing the sum x

3

+ y

3

+ z

3

through the elementary symmetric

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

184