Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

logical gaps that have been left by the study of divisibility in basic

school; for example, they do not consider it necessary even to prove

the criteria for divisibility by 3 and 9 in the general case. Thus, for

example, they present the proof of criteria for divisibility by 11 in

basic-school fashion, based on presenting an example, the generality of

which is obvious to any mathematician and must be equally obvious to

any student. A formal proof of this fact requires only a complicated

mathematical “ornament” and, apart from logical rigor (which in

this instance seems superfluous), adds nothing to the mathematical

content of the argument or, most importantly, to the basic problem of

developing the students’ mathematical thinking. Moreover, the very

fact that students have understood the generality of an example that

conclusively demonstrates the mechanism of a potential formal proof

constitutes an important contribution to their mathematical thinking,

promoting those peculiar features of thought which are characteristic

of mathematicians and necessary for assimilating mathematics.

Let us note that the concept of logical thinking, the thinking that is

used in mathematics and to an even greater degree by representatives

of other sciences, is substantially broader than that of deductive

thinking — a fact that many representatives of the methodological disci-

plines and practicing teachers sometimes forget, losing or substantially

weakening the productive component of thinking by doing so.

Everything that has been said above pertains, of course, not just to

the topic “Divisibility,” but illuminates the way in which an advanced

course in mathematics must differ from the basic course, what the

general principles governing the design of the advanced course must

be, and what approach must be used, in our view, to solve the

corresponding methodological problems.

Let us examine concrete problems for students that reflect the

authors’ approach to the topic “Divisibility” in the aforementioned

textbooks by Dorofeev et al.

1. Prove or refute the following statements:

(a) All even numbers are composite; (b) if an even number is

divisible by 15, then it is divisible by 6; (c) if an even number is

divisible by 15, then it is divisible by 20.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

181

2. Prove that:

(a) 3

2003

+ 3

2004

+ 3

2006

is divisible by 31;

(b) 20

186

+ 18

253

is divisible by 19.

3. Find the remainder after dividing:

(a) 6n + 5 (n — integer) by 3;

(b) 6n + 5 (n — positive integer, greater than 1) by n;

(c) 2

2005

by 7.

4. Which of the progressions

5, 8, 11,…; 4, 7, 10,…; 6, 9, 12,…

contains the number 11

· 38

20

− 4 · 25

10

? (Dorofeev, Kuznetsova,

Sedova, and Okhtemenko, 2004, p. 38)

As we can see, there is no general rule, no algorithm, and no general

ability for solving these problems except one: the ability to reason. Not

for nothing was the topic “Divisibility” traditionally a favorite topic for

problems on college entrance exams, at a time when there was no

Uniform State Exam.

Clearly, despite the simplicity of the formulations of these problems,

the basic level of preparation is not enough to solve them — and

this has to do not with new, additional criteria for divisibility (for

example, criteria for divisibility by 11), which may or may not be present

in the textbook of the advanced course; or with new concepts and

theorems that the Standard prescribes for the advanced level (such

as “Congruences”). It has to do with the depth with which those

concepts are assimilated, which are already known to all graduates of

basic schools. The Standard does not stipulate the study of any ready-

made algorithms for solving such problems; rather, what is required

of graduates here is the ability to engage in mathematical reasoning in

nonstandard situations.

With regard to significant differences between the content of

the basic and advanced courses, we should also look at the topic

“Polynomials,” which is studied in advanced classes. The main purpose

of this topic, according to the Standard for advanced schools, is to

improve the general mathematical preparation of the students, and to

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

182