Russian Mathematics Education

On Algebra Education in Russian Schools

175

These two groups of textbooks, in our view, reflect a fundamental

difference between two conceptions of basic and advanced courses in

mathematics.

4.2.2

The study of algebraic expressions in grades 10–11

The content of the material pertaining to the study of algebraic

expressions in high school, like the other sections of the course in

mathematics, is prescribed by the Standard. It should be noted that

certain topics are listed in the Standard in italics; these topics must be

included in the curriculum but are not part of the final attestation.

Also, the Standard does not require that the high school curriculum

include a section specifically devoted to numbers. Issues connected

with expanding the concept of number thus belong to the algebraic

part of the curriculum.

As can be seen from the passages from the Standard cited above,

the content that pertains to the study of algebraic expressions differs

substantially in the basic and advanced courses. Their common part is

connected with the study of roots of degree n, powers with rational

exponents, and the logarithm of a number. In these sections, students

receive virtually the same set of theoretical facts, so the main difference

is in the depth of their assimilation of this material.

As an illustration of this difference, consider how the students learn

the topic “Roots of the nth degree and their properties.”

In the textbook by Kolmogorov et al. (2007), the emphasis is

on learning definitions and algorithms. Thus, in studying this topic,

students must assimilate certain techniques for transforming algebraic

expressions. At the mandatory level, they must learn how to solve the

following types of problems:

• Move a factor outside the radical sign (a > 0, b > 0):

(a)

6

√

64a

8

b

11

;

(b)

5

√

−128a

7

.

• Move a factor inside the radical sign (a > 0, b > 0):

(a)

−b

4

√

3

; (b) ab

8

5b

3

a

7

. (Kolmogorov et al., 2007, p. 205)

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

176

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

A somewhat higher level is illustrated by the following problem:

• Put the following expression in the form of a fraction whose

denominator does not contain a radical: (a)

1

3

√

2

−

3

√

3

; (b)

2

a−

3

√

b

.

(Kolmogorov et al., 2007, p. 206)

The corresponding technique, as we will see below, is used in solving

irrational equations.

In the advanced textbooks of Dorofeev, Kuznetsova, and Sedova

deliberately learning to carry out elementary algorithms is not an end

in itself. Transformations involving radicals as a rule play a secondary

role and have the character of technical work, which must be carried

out in the process of solving more substantive problems.

For comparison, consider several problems on the topic examined

above from the problem book of Dorofeev, Sedova, and Troitskaya

(2010). Of course, as in Kolmogorov et al.’s (2007) textbook, this

problem book includes problems that involve elementary simplifica-

tions of expressions with radicals. But this problem book also examines

the opposite problem: under what conditions (constraints on variables)

is an already-transformed expression equal to the one given? (Dorofeev,

Sedova, and Troitskaya, 2010, p. 16).

For what x and y is the expression (y − 5)