Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

a sum. Dividing a sum by a number. Oral and written calculations

with natural numbers. Using the properties of arithmetical opera-

tions in calculations. Finding an unknown component of arithmeti-

cal operations. Strategies for checking calculations. Solving word

problems (with one or multiple operations) by arithmetical means

(using a variety of models: schematic drawings and graphs, tables,

and shorthand notations with keywords). Relations of proportional

magnitudes (velocity, time, distance traveled; price, quantity, cost,

etc.).

As for other subjects, let us note that we do not see the advantages

of a detailed study of decimal fractions — i.e. construction, rounding,

comparison, performing arithmetical operations, and deriving fraction

from number and number from fraction — at the fourth-grade level

(Alexandrova, 2009). In moving this material from the fifth- and sixth-

grade curriculum into elementary school, the textbook runs counter

to the principle of succession and shifts attention from other important

topics (for example, at the second- and third-grade levels, this textbook

has far too few exercises with geometrical figures).

We are also skeptical about the accessibility for students of propor-

tions characterizing work, movement, and buying–selling (Davydov

et al., 2009), in order to understand which students need to master such

concepts as “process,” “event,” “variable characteristics,” “additional

conditions,” “uniform process,” “variable process,” and “speed of a

uniform process.” In the corresponding textbooks for the fourth grade,

one reads: “The speed of the uniform process K indicates the rate of

increase of Y with respect to X. X

1

= X

2

, Y

1

> Y

2

, K

1

> K

2

.” And

further on: “The speed of a uniform process is a constant. It indicates

how many units of Y correspond to a single unit of X” (Davydov et al.,

2009, Book 1, p. 109).

It is interesting to note the use of the calculator (Chekin, 2009;

Istomina, 2009; Moro et al., 2009) not as a substitute for manual

calculation, but as a way of verifying results. Here are a few sample

exercises:

• Find the value of the expressions 37 + 24 − 24, 52 + 37 − 37, and

83

− 18 + 18.

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

The History and the Present State

69

In what ways are these expressions similar? What conclusions can

you draw? Verify your results with the help of a calculator, using

different numbers. (Istomina, 2009, 2nd grade)

• Using a calculator, add 1, 2, 3, and 4 to the number 372. Which

digit changes in the number 372? What other numbers could

you add to 372 without changing any of the other digits in the

number? (Istomina, 2009; 2nd grade)

• Using a calculator, find out whether the greatest three-digit

number is a multiple of the greatest six-digit number. (Chekin,

2009; 3rd grade)

• The value of what expression would you be calculating if you

pressed the following sequence of buttons on your calculator?

2

3

8

9

7

7

−

2

3

8

9

0

5

÷

9

(Chekin, 2009, 3rd grade)

The introduction to algorithms in several of the textbooks includes:

analyzing existing algorithms; constructing new algorithms (including

“everyday life” algorithms — crossing the street, lighting a fire, etc.);

types of algorithm notation — verbal and flowchart; and performing

calculations using a flowchart. This addresses the requirements set out

in the new standard.

A number of “complexes” pay special attention to estimating value,

evaluating results, and verifying results. For example, Ivashova et al.

(2009) include the following assignment:

Calculate and verify using a different calculation technique, such as:

100

÷ 4 = (80 + 20) ÷ 4 = 

60

÷ 4

90

÷ 5

100

÷ 4 = (120 − 40) ÷ 4 = 

14

· 5

38

· 2

Bashamkov and Nefedova (2009) have the following:

Choose the answer out of three given values without performing the

calculation to the end. Then evaluate the value and compare it with

your choice.

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

70