|
𝑔
𝑚−1
:
𝑔
𝑚
). Изменения каждого
i
-го ресурса и всего вектора
ограничений в целом
b
свяжет выражение
∆𝑏
𝑖
= 𝑔
𝑖
∆𝑏
,
c учетом которого
условие (4.27) преобразуется так:
−𝑥
𝑗
∗
= ∑
𝑑
𝑗𝑖
𝑔
𝑖
∆𝑏
𝑖
𝑚
𝑖=1
,
(4.30)
80
В свою очередь, из (4.30) аналогично условиям (4.28) и (4.29) имеем:
∆𝑏
(+)
= min
𝑗
{−𝑥
𝑗
∗
/ ∑
𝑔
𝑖
𝑑
𝑗𝑖
𝑚
𝑖=1
} > 0 , для
∑
𝑔
𝑖
𝑑
𝑗𝑖
< 0
𝑚
𝑖=1
;
(4.31)
∆𝑏
(−)
= max
𝑗
{−𝑥
𝑗
∗
/ ∑
𝑔
𝑖
𝑑
𝑗𝑖
𝑚
𝑖=1
} < 0 , для
∑
𝑔
𝑖
𝑑
𝑗𝑖
< 0
𝑚
𝑖=1
.
(4.32)
Определим границы устойчивости оценок в примере по добыче топлива в
его первоначальном варианте — без заданий по выпуску, т.е. задачи (2.1) —
(2.6). Ее оптимальный план представлен на рис. 4.1,
в
. В соответствии с ним до-
бывается торф (
𝑥
2
= 110 тыс. т), уголь (
𝑥
2
= 29 тыс. т) и остается неиспользован-
ной часть электроэнергии (
𝑥
4
= 30 тыс. кВт ч). Матрица
D
выглядит следующим
образом. В сравнении с таблицей на рис. 4.1,
в
ее строки упорядочены по воз-
растанию номеров базисных переменных:
𝑥
3
𝑥
4
𝑥
5
𝐴
∗
=
𝑥
1
∗
𝑥
2
∗
𝑥
4
∗
[
−2,5 0
5
2,25 0 −0,5
0,5
1
−5
]
.
Напомним, что вследствие транспонирования по строкам матрицы
D
идут
базисные неизвестные (т.е. торф, уголь, остаток электроэнергии), а по столб-
цам — ресурсы (фонд оборотных средств, электроэнергия, трудовые ресурсы).
Элементы
𝑑
𝑗𝑖
матрицы
D
являются коэффициентами замены (взаимозаме-
няемости) базисных переменных по ресурсам, показывая, на сколько умень-
шится оптимальное значение базисного переменного
𝑥
𝑗
∗
при уменьшении
𝑏
𝑖
на
единицу. Отрицательные коэффициенты взаимозаменяемости покажут размер
увеличения (т.е. отрицательного уменьшения) базисного переменного
𝑥
𝑗
∗
при
единичном уменьшении величины ресурса
𝑏
𝑖
.
Для первого ресурса положительны коэффициенты замены для угля (2,25)
и остатка электроэнергии (0,5). В соответствии с (4.29):
∆𝑏
1
(−)
= max {
−29
2,25
;
−30
0,5
} = max {−12
8
9
; −60} = −12
8
9
тыс. руб.
При уменьшении фонда оборотных средств будут уменьшаться добыча
угля и неиспользованный остаток электроэнергии. Первым из них уменьшится
до нуля, выйдет из базиса переменная
x
2
— добыча угля. Для этого достаточно
уменьшить фонд оборотных средств на 12 8/9 тыс. руб., т.е. с 30 до 7 1/9 тыс.
руб.
Для этого же ресурса отрицателен лишь коэффициент замены для торфа
(–2,5). В соответствии с (4.28):
∆𝑏
1
(+)
= min {
−110
−2,5
} = 44
тыс. руб.
При увеличении фонда оборотных средств на 44 тыс. руб., т.е. с 20 до 64
тыс. руб., добыча торфа уменьшится до нуля.
Итак, границы устойчивости оценок при изменении фонда оборотных
средств весьма широки — от 7 1/9 до 64 тыс. руб.
Оптимальный план в последнем случае включит в себя добычу угля (
𝑥
2
=
128 тыс. т) и неиспользованный остаток электроэнергии (
𝑥
4
= 52 тыс. кВт ч).
Все прочие переменны — нулевые (
𝑥
21
=
𝑥
23
=
𝑥
5
= 0). Характерно, что на гра-
нице интервала устойчивости оценок базисная переменная
x
1
уже вышла из оп-
81
тимального плана, а новая из прежних нулевых (
𝑥
3
или
𝑥
5
) еще не успела войти
в оптимальный план. Увеличение суммарной добычи условного топлива еще
пока можно вычислить через первоначальные оценки, так как мы находимся на
границе области устойчивости и еще не покинули ее. Увеличение первого ре-
сурса на 44 тыс. руб при оценке, равной 2,075 т у.т., даст прирост в 91,3 тыс. т
у.т. Суммарная же добыча условного топлива в новом плане достигает 153,6
тыс. т.
Отметим еще интересный случай нечувствительности угля и торфа к из-
менению ресурсов электроэнергии. Отсутствие отрицательных коэффициентов
замены для электроэнергии говорит о том, что увеличение этого ресурса до
сколь угодно больших пределов не изменит, по сути, решения. Будет лишь па-
раллельно расти неиспользованный остаток электроэнергии.
Итак, мы рассмотрели методы определения интервалов устойчивости
двойственных оценок по ресурсным ограничениям модели (2.1) — (2.6).
Рассмотрим теперь вопрос об оценке «чувствительности» оптимального
решения к возможной неточности исходной информации относительно коэф-
фициентов вектора выпуска
𝑝
1
, … , 𝑝
𝑖
, … , 𝑝
𝑛
.
Технологические способы
𝑃
1
,...,
𝑃
𝑘
, вошедшие в базис оптимального пла-
на, удовлетворяют требованию компенсации части эффекта, недополученного
от отвлечения дефицитных ресурсов, полученным эффектом. Разница между
недополученным и полученным эффектом есть двойственная оценка техноло-
гического способа
∆
𝑗
= ∑
𝑎
𝑗𝑖
𝑦
𝑖
∗
− 𝑝
𝑗
𝑚
𝑖=1
. Для интенсивных технологических спо-
собов
∆
𝑗
= 0, а для неинтенсивных
∆
𝑗
0, что соответствует превышению недо-
полученного эффекта
∑
𝑎
𝑗𝑖
𝑦
𝑖
∗
𝑚
𝑖=1
над величиной
𝑝
𝑗
. Заметим, что ненулевые
оценки технологических способов в последней симплекс-таблице указываются
в целевой строке.
С помощью оценок
∆
𝑗
определяется близость отвергнутых вариантов к
области оптимума и, следовательно, может быть оценена «чувствительность»
оптимального решения к возможной неточности исходной информации, каса-
ющейся вектора выпуска.
Проведем оценку устойчивости оптимального решения в задаче (2.1) —
(2.6) по вектору выпуска с запасом прочности в
процентов: т.е. будем счи-
тать, что для технологических способов, вошедших в оптимальный план, оцен-
ка дохода была изначально завышена в (1 +
) раз, а для не вошедших в опти-
мальный план, соответственно, занижена в (1 +
) раз.
В принятой системе оценок новые характеристики технологических спо-
собов изменятся
𝑃
1
,...,
𝑃
𝑘
, 𝑃
𝑘+1
, … , 𝑃
𝑛
и примут следующие значения:
∆
1
′
= ∑
𝑎
𝑖1
𝑦
𝑖
∗
− 𝑝
1
+ 0,01α𝑝
1
= 0,01α𝑝
1
𝑚
𝑖=1
;
∆
𝑘
′
= ∑
𝑎
𝑖𝑘
𝑦
𝑖
∗
− 𝑝
𝑘
+ 0,01α𝑝
𝑘
= 0,01α𝑝
𝑘
𝑚
𝑖=1
;
∆
𝑘+1
′
= ∑
𝑎
𝑖𝑘+1
𝑦
𝑖
∗
− 𝑝
𝑘+1
+ 0,01α𝑝
𝑘+1
= ∆
𝑘+1
− 0,01α𝑝
𝑘
𝑚
𝑖=1
;
∆
𝑛
′
= ∑
𝑎
𝑖𝑛
𝑦
𝑖
∗
− 𝑝
𝑛
+ 0,01α𝑝
𝑛
= ∆
𝑛
− 0,01α𝑝
𝑘
𝑚
𝑖=1
.
Ясно, что оценки
∆
1
′
,...,
∆
𝑘
′
по сравнению
1
,...,
𝑘
с ухудшились (отошли
от нулевых), а оценки
∆
𝑘+1
′
,...,
∆
𝑛
′
по cравнению с
𝑘+1
,...,
𝑛
улучшились (при-
близились к нулевым). Если при этом, однако, ни одна из оценок первой груп-
82
пы (
∆
1
′
,...,
∆
𝑘
′
) не выше какой-либо оценки из второй группы (
∆
𝑘+1
′
,...,
∆
𝑛
′
), то
можно утверждать, что оптимальное решение в задаче (2.1) — (2.6) обладает
запасом прочности по вектору выпуска в
процентов, так как даже при самом
неблагоприятном для фирмы стечении обстоятельств набор интенсивных тех-
нологических способов продолжает оставаться экономически эффективным.
Do'stlaringiz bilan baham: |
