RosanovaPrakt indd

Типовые задания с решениями
629
Тогда, решая задачу на максимизацию, находим оптимальные значения потребления каждого товара для двух потребителей:
X* = 2/3 • 1/Р(30Р + k);
Y* = 1 / 3(30Р + k);
X* = 1/3 • 1 /Р(60Р + 2l0-k);
Y* = 2/3(600+210 - Лг),
где Р — цена товара X.
Так как X* + X* = 210, то получаем новое выражение для совокупного объема товаров в экономике, подставляя равновесные значения
потребления X* и X*:
1/3(30 Р + k) + 2/3(60 Р +2l0-k) = 2l0.
Откуда находим равновесную цену:
50_Р= 70 + k/3;
Р=( 210 + &)/150.
Ответ на вопрос 2.
Доход каждого потребителя равен сумме произведения цены товара на первоначальное количество товара, которым располагает данный потребитель.
Доход первого потребителя будет равен:
М, = PW_Y + W_r = 30 Р + k.
1 Л, г.
Так как из равновесного уровня цены:
k=l50P-2l0,
то доход первого потребителя равен:
М_{1 =} 30Р+ 150Р- 210 = 180Р- 210.
Точно также находим доход второго потребителя: м₂ = PW + 1Ту₂ = 420 - 90Р.
Выразим доходы потребителей через к.
М_{1 =} ( 210 + 6&)/5;
М₂ = (1470-3^)/5.
Выразим доход второго потребителя через значение дохода первого потребителя: так как
* = 5,6(71/! - 42),
то
М₂ = 294 - 3,5[5,6(М₁ - 42)] = 315 - 1,2ЛД.
630
Глава 17. Общее равновесие в экономике
Ответ на вопрос 3.
Подставим значения доходов потребителей в функцию общественного благосостояния:
W= In M_t + In M₂ = In [(210 + 6k)/5] + In [(1470 - 3k)/5\.
В итоге получено выражение функции общественного благосостояния через одну неизвестную — k.
Найдем условие первого порядка максимума функции общественного благосостояния по отношению к величине к.
dW/dk = 6/5 • 5/(210 + 6k) - 3/5 • 5/(1470 - 3k) = 0.
Откуда получаем равновесное значение к.
k* = 227,5,
так как k* > 210, то данное решение невозможно в этой экономике. Поэтому мы будем иметь угловое решение:
& = 210,
при котором доход первого потребителя равен: М* = 294, доход второго потребителя составляет: М* = 168.
Равновесная цена X равна Р* = 2,8, равновесный объем потребления первого товара для двух потребителей составляет: X* = 70 и X* = 112. Равновесный объем потребления второго товара для двух потребителей составляет: Y* = 910 У₄*= 910 и Y* = 112.
Отметим, что данное распределение не является оптимальным по Парето, так как здесь не выполняется равенство предельных норм замещения двух товаров для каждого потребителя.
Предельная норма замещения ХУ для первого потребителя в равновесии равна:
MRS_XY(l) = 2Y₁/X₁ = 2 • 910/70 = 26.
Предельная норма замещения YX для второго потребителя в равновесии составляет:
MRSyxil) = 2X₂/Y₂ = 2 • 112/112 = 2;
MRS_XY{\)>MRS_YX(2).
Однако, как видно, оптимальное состояние для экономики недостижимо, поэтому приходится мириться с неэффективностью по Парето. Первый потребитель использует слишком много товарах и слишком мало товара Y. Второй потребитель использует относительно много товара Y и относительно мало товара X.