Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Shturm teoremasi. f(x) ko‘phadning ildizlaridan farqli a va b (a < b) sonlarni olib, x ni a dan b gacha o‘zgartirganda f(x) uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo‘qolsa, f(x) ning (a,b) oraliqda xuddi shunday haqiqiy ildizla- ri mavjud bo‘ladi.
Shturm teoremasi ildizlarni ajratish masalasini to‘la hal qiladi, lekin Shturm qa- torini tuzish bilan bog‘liq bo‘lgan hisoblashlar ko‘p vaqt talab qiladi. Shturm teore- masining qo‘llanilishi quyidagichadir. Avval (2.2) tenglamaning barcha ildizlari yot- gan oraliqning chegaralari aniqlanadi. Topilgan [a,b] kesma _j nuqtalar bilan kichik oraliqchalarga bo‘linadi. Shturm teoremasi yordamida tenglamaning [_i,_i+1] kesmadagi ildizlarining soni aniqlanadi. Agar bu kesmalarda ildizlarning soni bit-
61

tadan ko‘p bo‘lsa, kesma ikkiga bo‘linadi va har bir kesma uchun Shturm teoremasi qo‘llaniladi. Bu jarayonni shu paytgacha davom ettiramizki, toki har bir kesmacha- lardagi ildizlar soni bittadan ortmasin. Shuni ham eslatib o‘tish kerakki, Shturm qa- toridagi f_i(x) funksiyalarni musbat sonlarga ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin, bundan ishora almashtirishlar soni o‘zgarmaydi.

Namunaviy mashqlar va ularning yechimlari

1-misol. Ushbu f(x)=3x⁸–5x⁷–6x³–x–9=0 tenglama (ko‘phad)ning musbat va man- fiy ildizlari chegarasini Lagranj formulasi yordamida aniqlang.
Yechish. Berilganlarlarga ko‘ra:

B
k=1; B=–9=9; a_n=3;
Yordamchi tenglamani tuzamiz:
R^  1  ^1
9  4 ^.
3

bu yerdan esa

P_n^(x) =9x⁸+x⁷+6x⁵+5x–3 = 0,

k=8; B=–3=3; a_n=9;
R^  ¹ 

b
R^
_ 1
1,87
 0,5 ^.

Bu yerdan musbat ildizlarning chegarasi 0,5 ≤ x⁺ ≤ 4 ekanligi kelib chiqadi. Endi manfiy ildizlarning chegarasini aniqlaylik:
P² (x)  P (x) =3x⁸ + 5x⁷ + 6x³ + x – 9 = 0;
n n



B
^{R  1   1   2,0} ;


^{R3  (x)  xn  P  1  } 9x⁸ – x⁷ – 6x⁵ – 5x – 3 = 0;


_{b n}  

x
 

k=8; B=–6=6; a_n=9;
R^  ¹  ¹  ¹  ³  0,6 .

b
_{R4 1 } 6 5 ₅
9 3
Bu yerdan esa manfiy ildizlarning chegarasi -2 ≤ x^– ≤ 0,6 ekanligi kelib chiqadi. Har bir ildiz yotgan intervalni topish uchun esa qo‘shimcha tadqiqod o‘tkazish lozim bo‘ladi. Buni quyidagi misolda ko‘ramiz.