Республика илмий-амалий масофавий онлайн конференцияси

Теорема (об экстремуме квадратичной функции). Экстремальное значение квадратного трёхчлена достигается в точке . Значение является наименьшим, если и наибольшим, если _.
Проиллюстрируем на примерах возможности применения экстремальных свойств квадратичной функции для решения оптимизационных задач.
Задача 1. Найдите наименьшее значение функции [4].
Решение. В нашем случае данный пример можно решить двумя методами.
1-метод: выделим полный квадрат. Для этого запишем функцию в виде . Ясно, что функция будет иметь минимальное значение только тогда, когда . В результате функция в точке имеет минимальное значение, равное 4.
2-метод: по вышесказанному относительно квадратичной функции, если то, функция имеет наименьшее значение .
Ответ: 4.
Следует отметить, что значительная часть задач на оптимизацию, представленных в 15 главе (начало математического анализа) сборника задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави [5], допускает решение без применения производной. Для нахождения ответа достаточно задать функцию от искомой величины.
Задача 2. (15.176) Число 18 разбить на такие два слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Решение. Обозначим искомые числа как m и n и составим условие:
. Выразим одну переменную через другую, составим целевую функцию и исследуем её на экстремальность: _{ }

Составленная целевая функция – квадратичная. Первый коэффициент положительный, поэтому её наименьшее значение будет приниматься при _{ } .
Предполагаемый ответ: искомые числа равны 9 и наименьшая сумма квадратов равна 162.
Предположим, что задача решена неверно и рассмотрим отклонение от найденных значений. Пусть и , соответственно. Тогда:
_{ } 162
Значит, при любом отклонении от найденных значений сумма квадратов будет больше исходно найденной.