Решение неравенств первой и второй степени План Числовые неравенства и их свойства

2. Равносильные неравенства:
Определение 1
Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.
Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.
Приведем пример:
Даны три равносильных неравенства: x > 2, 2·x:2 > 2 и x>3-1. В самом деле, множества решений этих неравенств одинаковые, решение каждого их них – числовой промежуток (2, +∞)
Неравенства х⁶≤-2 и |х+7|< 0 являются равносильными, поскольку оба не имеют решений.
Неравенства х>3 и х≥3 – не равносильные: х=3 служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.

Равносильные преобразования неравенств

Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.
Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.
Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.
Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.
Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:

1. 
   Замена выражений в обоих частях неравенства тождественно равными выражениями на области допустимых значений (ОДЗ) переменных заданного неравенства есть равносильное преобразование неравенства.
   

Докажем утверждение. Пусть дано неравенство с одной переменной A(x) - некие выражения с переменной x. Допустим, выражение C(x) является тождественно равным выражению A(x), а выражение D(x) является тождественно равным B(x) на ОДЗ заданного неравенства. Найдем доказательство, что неравенство C(x) служит равносильным неравенству A(x)Мы приняли, что q – решение неравенства A(x)Выражение A(q)−B(q) можно записать в виде A(q)+(C(q)−C(q))−B(q)+(D(q)−D(q)), что является тем самым, (A(q)−C(q))+C(q)−(B(q)−D(q))−D(q). Выражения A(x) и C(x), B(x) и D(x) по условию тождественно равны, тогда: A(q)=C(q) и B(q)=D(q), откуда A(q)−C(q)=0 и  B(q)−D(q)=0 . Таким образом, (A(q)−C(q))+C(q)−(B(q)−D(q))−D(q)=0+C(q)−0−D(q)=C(q)−D(q). Мы продемонстрировали, что значение выражения A(q)−B(q) равно значению выражения C(q)−D(q), а поскольку A(q)−B(q)<0, то и C(q)−D(q)<0. Отсюда делаем вывод, что C(q)Таким же образом доказывается, что любое решение неравенства C(x)Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.
В неравенстве 3·(x+1)−2·x+11≤2·y+3·(y+1)+x, в обоих его частях мы раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получив в итоге равносильное неравенство x+14≤5⋅y+3+x+14≤5·y+3+x. Если детально разобрать наши действия, то мы заменили левую часть данного неравенства тождественно равным ей выражением x+14, а правую часть – тождественно равным ей выражением 5⋅y+3+x на области допустимых значений переменных x и y заданного неравенства.
Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств. 

3.