ResearchGate

a-


d ²u


+ b


d ²u


d ²u


du du
■ + c—- + d h e h fu + g = 0,
dt dx


dt² dtdx dx²
bunda u - ixtiyoriy noma’lum funksiya; a dan g gacha barcha koeffitsientlar x (koordinata) va t (vaqt) erkli o‘zgaruvchilarning va, balki, izlanayotgan u funksiya
du du
va uning birinchi tartibli hosilalari (—) ning funksiyalari (oxirgi holda tenglama
dx dt
nochiziqli yoki kvachiziqli bo‘ladi) yoki o‘zgarmaslar bo‘lishi mumkin.
Chiziqli holatda bu tenglama ushbu
D=b²(x,t)-4a(x,t)c(x,t)
diskriminantning ishorasiga qarab giperbolik, parabolik va elliptik tiplarga
quyidagicha klassifikatsiya qilinadi:
2

• 
  b -4ac>0
  
• 
  b²-4ac=0 2
  

giperbolik tipdagi tenglama; parabolik tipdagi tenglama;
• b²-4ac<0 - elliptik tipdagi tenglama.
Amaliyotda ko‘p qo‘llaniladigan tenglamalarga misollar:
du d(F(u, x, t))


Ko‘chirish tenglamasi


dt


dx


giperbolik tipda;


P ellipik tipda;


Puasson tenglamasi


d ²u( x, y) d ²u( x, y) dx² dy²


Diffuziya tenglamasi — = к
d t


d²u(x, t) ~dx^r~


parabolik tipda.

onli hisob usulini tanlash hisoblanayotgan tenglamalar sistemasi tipidan bog‘liq. Ikki o‘lchovli masalalar uchun xususiy hosilali ikkinchi tartibli tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:
Shulardan giperbolik tipdagi tenglamalarga biroz to‘xtalaylik. Giperbolik tipdagi tenglamalar chekli tezlik bilan axborotlar tarqaladigan jarayonlarning barchasida paydo bo‘ladi, masalan,

• 
  eng sodda giperbolik tipdagi tenglama - bu ko‘chirish tenglamasi u_t + au_x= 0;
  
• 
  keng tarqalgan giperbolik tipdagi tenglama - bu to‘lqin tenglamasi u_tt =
  

c²V²u;

• 
  eng foydali giperbolik tipdagi tenglama - bu qovushoqmas Byurgers tenglamasi (Xopf tenglamasi) u_t + uu_x= 0.
  

Giperbolik tipdagi tenglamalarga yana boshqa misollar:

• 
  Eylerning nostatsionar tenglamalari;
  
• 
  tovushdan tez oqim uchun Eylerning statsionar tenglamalari;
  
• 
  sayoz suvlar tenglamasi;
  
• 
  ideal magnit gidrodinamikasi tenglamasi;
  
• 
  elastiklik nazariyasi tenglamasi;
  
• 
  plastinka va qobiqlarning harakat tenglamalari.
  

Ma’lumki, siqiluvchan suyuqlikning statsionar oqimini ifodalovchi tenglama oqim tovush tezligidan katta bo‘lgan sohada giperbolik tipda, oqim tovush tezligigacha bo‘lgan sohalarda esa elliptik tipda bo‘ladi.

3. 
   Tenglamaning xarakteristikalari
   

Uch o‘lchovli masalalar uchun xarakteristika sirtlari yoki ikki o‘lchovli masalalar uchun xarakteristika chiziqlari odatda Max konusi bilan mos tushadi. Sodda misolni qaraylik. Ushbu
d²u ₂ d²u
= c
d t² dx²
bir o‘lchovli to‘lqin tenglamasi (torning tebranishi tenglamasi)ni olaylik. Umumiy yechim quyidagicha:
u(x,t) = u₁(x-ct)+u₂(x+ct).
Bunda x±ct = const xarakteristikalar o‘zgarmas fazali nuqralarning ko‘chishini ifodalaydi (1.1-rasm).
Soddaroq qilib aytganda, xarakteristikalar - bu x - t tekislikda
~Х^~^ = ^a (u(t,x(t))
tenglama bilan aniqlanadigan egri chiziqlardir.
A


1.1-rasm. Bir o‘lchovli to‘lqin tenglamalari uchun xarakteristikalar.
gar u(t,x) yechim differensiallanuvchan bo‘lsa, u holda u xarakteristikalar bo‘ylab o‘zgarmas bo‘ladi.
Agar Koshi masalasining yechimi differensial­lanuvchan bo‘lsa, u holda u quyidagicha oshkormas ko‘rinishda beriladi:
u = ф (x-a(u)t).
Bu to‘gridan-to‘g‘ri ularning hosilasini hisoblash va ularni tenglamaga qo‘yish bilan tekshiriladi:
u_t = ф • (-a -1 u_t a') ^ u_t = -аф'/(1+ ф a't) ; u_x = ф • (1 - t u_x a') ^ u_x = ф'/(1+ ф a't) .

4. 
   Fizik jarayonlar
   

Har xil fizik-mexanik masalalarni matematik modellash-tirish natijasida xususiy hosilali differensial tenglamalarga kelinadi. Bu tenglamalar va tenglamalar sistemasi ko‘pincha bir xil yoki bir biriga yaqin ko‘rinishda yoziladi. Asosan klassik
masalalarda bunday tasdiqlar saqlanish qonunlari ko‘rinishida yoziladi. Bu tasdiqlar asosida asosan quyidagilar yotadi: massa paydo bo‘lmaydi va yo‘qolmaydi; impuls, impuls momenti va energiya saqlanadi. Ana shu g‘oyalarni qo‘llash orqali kelib chiqadigan xususiy hosilali tenglamalar konservativ tenglamalar deb ataladi.
Xususiy hosilali tenglama fazodagi nuqtalarni, vaqtni va sodda chiziqli xossalarni bog‘laydi, bu xususiy hosilali tenglama yoki tenglamalar sistemasini fazo va vaqtda to‘lqin holatini tadqiq qilishda tuzish mumkin. Ko‘plab fizik jarayonlar (masalan, to‘lqin tarqalishi, ko‘chirish, diffuziya, potensial) juda sodda xususiy hosilali tenglamalar bilan ifodalanishi mumkin.
Bunga misollar keltiramiz.
Dispersion munosabat.
u(x,t) funksiyani x - fazoviy o‘zgaruvchining va t - vaqt o‘zgaruvchining funksiyasi deb tanlab olish va uni xususiy hosilali tenglamani qanoatlantiradi deb hisoblash mumkin.Ushbu
u(x,t) = Ue^i(mt-kx)
funksiya (fazo va vaqtda izolyatsiyalangan to‘lqin yoki furye-moda)ni bizni qiziqtirayotgan xususiy hosilali tenglamaga qo‘yishning natijasini qaraylik, bunda ю - to‘lqin chastotasi; k - to‘lqin uzunligi bilan bog‘liq to‘lqin soni, k=2n/X; X - to‘lqin uzunligi. Buning natijasida ushbu
ю = ®(k)
dispersion munosabatga ega bo‘lamiz.
Berilgan xususiy hosilali tenglama bilan tavsivlanayotgan fizik jarayon uchun dispersion munosabat chastota va ma’lum bir to‘lqin uzunlikli o‘ziga xos xarakterli vaqt masshtabini bog‘laydi. Agar ю chastota haqiqiy bo‘lsa, u holda tebranish yoki to‘lqin jarayoni, va aksincha u manfiy bo‘lsa, u holda modaning ko‘tarilishi yoki so‘nishi tavsiflanayotgan bo‘ladi.
Boshlang‘ich shartlar bilan berilgan masalani sonli yechishda bizni asosan har xil fizik jarayonlar uchun masalaning vaqt masshtablari va ularning to‘lqin uzunligidan bog‘liqligi qiziqtiradi. Ana shu ma’lumot dispersion munosabatda bo‘ladi.
To‘lqin tarqalishi.
To‘lqinlar va to‘lqinli harakatlar fizik-mexanik masalalarda ko‘plab uchraydi. Eng sodda hol bo‘lgan tortilgan torda to‘lqin tarqalishi masalasini qaraylik, bunda £(x,t) - tor nuqtalarining ko‘chishi ushbu
tf^/dt² - a ² tf^/dx² = 0
to‘lqin tenglamasini qanoatlantirsin, bunda a_s - parametr, a_s=(T/m) ; T - torning tarangligi; m - birlik uzunlikka mos keluvchi massa miqdori. Agar L - torning uzunligini bildirsa, u holda x xarakterli vaqtni L uzunlikli to‘lqinning o‘tish vaqti deb topishimiz mumkin:
x~ L/ a_s .
Murakkabroq yaqinlashishni tanlab, tordagi ushbu
£(x,t) = -(e^i(m-kx)
furye-modani qaraylik. Bu modani to‘lqin tenglamasiga qo‘ysak, u holda berilgan k — to‘lqin soni uchun ю - chastota ushbu

• 
  ю² +k a_s² = 0
  

tenglamani qanoatlantirishi lozim. Bu tenglama xususiy hosilali tenglamaning dispersion munosabati deb ataladi.
Natijada xarakterli vaqt masshtabini to‘lqin bilan quyidagicha bog‘laymiz:
r= 2л/ю = 2n/(a_sk) = X/a_s .
Shuni ham ta’kidlaymizki, agar u = dbjdt — siljish tezligi va в = dfydx — chetlanish burchagi bo‘lsa, u holda ikkinchi tartibli to‘lqin tenglamasini ushbu
du/dt - a_sd&dx = 0, d&dt - a_sdu/dx = 0
ikkita birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin. Ko‘chirish tenglamasi.
Ko‘chirish tenglamasi to‘lqin tenglamasi bilan bog‘langan va suyuqlikning ko‘chishi natijasida yuzaga keladi. Massaning saqlanish qonuni tenglamasi Lagranj nuqtai nazaridan ushbu
^ + pVu = 0 dt
tenglama bilan ifodalanishini aytib o‘tgan edik. Bu dalildan, ya’ni suyuqlikning zichligini harakatlanayotgan suyuqlik zarrachasidagi lokallangan xossa deb qarashdan, zichlikning suyuqlik bilan birga ko‘chishi kelib chiqadi. Siqilmaydigan suyuqlik (o‘zgaruvchan zichlik bilan bo‘lsa ham) uchun massaning saqlanish tenglamasi
dp dp _
— = — + uVp = 0 dt dt
kabi yoziladi. Bu tenglama ko‘chirish tenglamasi deb ataladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy suyuqlikningixtiyoriy hajmiy xossasi holatini tavsiflovchi va boshlang‘ich shartlar bilan berilgan masalalar tenglamalarida ko‘chirishni tavsiflovchi hadlar paydo bo‘ladi.
Xususiy holda, bir o‘lchovli ko‘chirish tenglamasi quyidagicha yoziladi:
dp _ dp

• 
  + u — = 0.
  

dt dx
Diffuziya tenglamasi.
Bu tenglamasi zarrachalar, impuls yoki energiyaning uzatilishini tavsiflashda hosil bo‘ladi.
Diffuziya hodisasining tabiati quyidagicha. Suyuqlik zarrachalarining mikroskopik issiqlik harakati natijasida sodir bo‘ladigan makroskopik effekt diffuziya deb ataladi. Zarrachalar ixtiyoriy yo‘nalishda harakat qiladi, to‘qnashadi va ko‘p martalab to‘qnashishlar natijasida u o‘zining tezligini o‘zgartiradi, bunda barcha zarrachalar tezliklarining o‘rtacha qiymati suyuqlikning u o‘rtacha tezligiga yaqin bo‘ladi. O‘rtacha oqimga nisbatan bunday tasodifiy harakatlar gradiyentlarni yoyadi, bo‘linish sirtlarida moddani aralashtiradi, suyuqlikda harakat yaratadi hamda massa, impuls va energiyani uzatadi. Shuday qilib, suyuqlikning harakatida massaning
jamlangan oqimi qatnashmasligiga qaramasdan diffusion jarayonlar makroskopik ko‘chishga olib keladi.
Bizga ma’lumki, gidrodinamika tenglamalari asosan giperbolik tipda hamda ular muhitdagi tovish to‘lqinlaridan bog‘liq bo‘lgan ko‘chirish va siqilish jarayonlarini tavsiflaydi. Bu yerda qayd etilgan diffuziya hodisasining umumlashgan tavsifini ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama orqali ifodalash mumkin:
C (u, x, t) — = V\D(u, x, t )Vu ]+S (x, t), dt
bunda u - umumlashgan gidrodinamik miqdor; C va D - o‘zgarmas yoki sistemani tavsiflovchi o‘zgaruvchilardan bog‘liq koeffitsiyentlar; S(x, t) - manba funksiyasi.
Agar u - tumperaturani ufodalasa, u holda C solishtirma issiqlik sig‘imi bilan mos keladi. Agar u - impulsni ifodalasa, u holda C impuls zichligi bilan tezlikni bog‘lovchi zichlikka mos keladi.
E
du
dt


d_
dx


r


, du k —
V dx j


= 0.

ng sodda bir o‘lchovli holda diffuziya tenglamasi quyidagicha yoziladi:
bu yerda u = u(x,t) - noma’lum funksiya; к - diffuziya koeffitsiyenti.
Sinov savollari

1. 
   Xusisiy hosilali tenglamalar klassifikatsiyasini tushuntiring.
   
2. 
   Xususiy hosilali tenglamalarga keltiriladigan gidrodinamik jarayonlarga misollar keltiring.
   
3. 
   Konveksiya tenglamasi va uning gidrodinamik ma’nosini ayting.
   
4. 
   Diffuziya tenglamasi va uning gidrodinamik ma’nosini ayting.
   
5. 
   Gidrodinamikada chegaraviy masala qanday tuziladi.
   
6. 
   To‘lqin tarqalish tenglamasi bilan ifodalanuvchi gidrodinamik jarayonlarni izohlang.
   

Adabiyotlar: [3], 63-84 b.; [5], 29-35 b.; [6],
Fan: «Gidrodinamikaning asosiy masalalarini sonli yechish usullari».
O‘quv-mashg‘ulot soati: 2 s. (ma’ruza); 4 s. (mustaqil ish).
O‘quv-mashg‘ulot turi: an’anaviy ma’ruza.
O‘quv-mashg‘ulot maqsadi:

• 
  ta’limiy -gidrodinamika asosiy elementlari tushunchalar haqida fikr yuritish; ideal va qovushoq suyuqlik, qovushoqlik, oqimning uzviylik tenglamasi, oqim rejimi, Bernulli tenglamasi bilan bog‘liq mavzu materiallarini qabul qilish; muammoli masalani yechishga ko‘nikma hosil qilish; gidrodinamika elementlariga oid muhim ma’lumotlarni eslab qolish; fizik-mexanik jarayonlarni o‘rganish;
  
• 
  tarbiyaviy - ishontirish; xulqi ustidan nazorat; faol mustaqil ishlash; mustaqil ishni bajarishda vaqtni to‘g‘ri taqsimlash; javobgarlikni his qilish; mehnat- sevarlik; yakka tartibda va guruhlarda hamkorlikda ishlash; raqibni hurmat qilish; kelishuvchanlik; bir to‘xtamga kelish; diqqatni jamlash; sarishtalik;
  
• 
  rivojlantiruvchi - darslik bilan ishlash; ijodiy namuna; tahlil; taklif; xulosa; tanqidiy qarash; xususiydan umumiyga o‘tish; umumlashtirish; nazariy, mantiqiy va analitik fikrlash; ijodiy yondashish; Internetdan foydalanish.
  

O‘quv-mashg‘ulotni o‘qitish texnologiyasi:

• 
  o ‘qitish usuli: noan’anaviy (tashkiliy qism; so‘rash, tushuntirish, mustahkam- lash, aqliy hujum; «Insert» texnikasi; uyga vazifa; xulosa);
  
• 
  o ‘qitish shakli: jamoaviy, guruh bo‘lib;
  
• 
  o‘qitish vositasi: uslubiy qo‘llanma; ma’ruzalar matni; tarqatma materiallar; slaydlar;
  
• 
  o ‘qitish sharoiti: kompyuter; videoproyektor; elektoron doska bilan ta’minlan- gan auditoriya;
  
• 
  monitoring va baholash: og‘zaki; blits-so‘rov; test.
  

O‘quv-mashg‘ulot rejasi:

• 
  Ideal va qovushoq suyuqlik tushunchasi.
  
• 
  Gidrodinamika elementlari.
  
• 
  Oqimning uzviylik tenglamasi.
  
• 
  Gidrodinamik napor.
  
• 
  Bernulli tenglamasi.
  
• 
  Oqimlarning harakat rejimi.
  

Tayanch so‘zlar va iboralar:
ideal va qovushoq suyuqlik; gidrodinamika elementlari; erkin sirt; oqim chizig‘i; oqimning jonli kesim yuzasi; oqim sarfi; ho‘llanish perimetri; gidravlik radius; oqimning uzviylik tenglamasi; tezlik; kesim yuzasi; gidrodinamik napor; geometrik, pyezometrik va tezkor napor; Bernulli tenglamasi; naporlar; gorizontal quvurdan oqish; teshikdan oqish; Torricheli formulasi.
Ideal va qovushoq suyuqlik tushunchasi. Gidrodinamika - bu suyuqlik va gazlar mexanikasi fanining harakatlanayotgan suyuqlik (suyuqlik oqimi) qonuniyat- larini o‘rganuvchi bo‘limi.
Ideal suyuqlik deb ichki ishqalanishga ega bo‘lmagan (qovushoqmas) suyuq- likka, qovushoq suyuqlik deb esa ichki ishqalanish hodisasini hisobga olmaslik mum- kin bo‘lmagan suyuqlikka aytiladi. Ideal siqilmaydigan suyuqlik deb zichligi bosim- dan bog‘liq bo‘lmagan va suyuqlik fazosining barcha nuqtalarida zichligi o‘zgarmas, qovushoqmas (ichki ishqalanishga ega bo‘lmagan) tomchili suyuqlik yoki gazga aytiladi. Siqiluvchan suyuqlik deb zichligi bosimidan bog‘liqligini e’tiborga olmaslik mumkin bo‘lmagan gazga aytiladi. Ideal suyuqlik modeli unda yuz beradigan hodisalarni taqriban o‘rganishga imkon beradi. Ideal suyuqlik oqimini kinematik tavsiflash uchun Eyler usulidan foydalaniladi. Buning uchun boshlang‘ich hisob koordinatalari sistemasi tanlanadi va unda tezliklar maydoni, ya’ni har bir nuqtaning uning r radius-vektoridan va t vaqtdan bog‘liq v = f (r, t) tezligi beriladi (1.2-rasm).
1 .2-rasm. Ideal suyuqlik oqimi sxemasi.
Qovushoqlik - bu suyuqlikning harakati paytida uning zarrachalari o‘zaro siljigandagi qarshilikdan kelib chiqadigan ichki ishqalanashini namoyon qiluvchi xossasi. Suyuqliklardagi ishqalanishni qattiq jismlardagi siljish yoki qirqish bilan taqqoslash mumkin. Tinch turgan suyuqlik o‘zining qovushoqligini namoyon qilmaydi, unda faqat normal kuchlanishlargina namoyon bo‘ladi. Miqdor jihatidan qovushoqlik o‘zaro bir-biriga juda sodda almashinuv- chan dinamik va kinematik qovushoqliklar orqali ifodalanadi. Dinamik qovushoqlik (л): SI birliklar sistemasida Pa-s = N-s/m ; SGS birliklar sistemasida Puaz (Pz), masalan 1 Pa-s = 10 Pz. Kinematik qovushoqlik (u): u = /л/р, m²/s .
Temperaturaning oshishi bilan qovushoqlikning kamayishi barcha suyuqliklarga xos. Ammo katta bosimlarda bosimning oshishi bilan suyuqlikning qovushoqligi tez oshadi. Bu hodisa faollashuv energiyasining o‘shishi va relaksatsiya vaqtining mos kattalashishidan bog‘liq. Shuning uchun, suyuqlikning qovushoqligi uning jinsidan, temperaturasidan va bosimidan bog‘liq.
Gidrodinamika elementlari. Barcha oqimlar umumiy gidrodinamik element- larga ega: oqim chizig‘i; jonli kesim; suyuqlik sarfi; tezlik.
Erkin sirt - bu suyuqlikning gaz bilan tutash chegarasi bo‘lib, suyuqlikka gaz (havo)dan ta’sir etuvchi bosim odatda atmosferaga teng (1.3,a-rasm).
Suyuqlikning barcha oqimlari ikki turga bo‘linadi: naporli (erkin sirtsiz); naporsiz (erkin sirtli). Masalan, suv uzatish quvurida naporli oqim kuzatiladi, chunki uning ko‘ndalang kesimi to‘la (1.3,6-rasm). Kanalizatsiya quvurida esa naporsiz oqim kuzatiladi, chunki u to‘la emas, undagi oqim erkin sirtga ega va suyuqlik quvurning qiyaligiga qarab o‘z-o‘zidan harakatga keladi (1.3,c-rasm).
Oqim chizig‘i - bu oqimning ko‘ndalang kesimi yuzasi cheksiz kichik bo‘lgan elementar sharrachasi. Oqim ana shunday sharrachalar dastasidan tuzilgan (1.3,d-
r



1.3-rasm. Suyuqlik oqimining gidrodinamik elementlari: a) erkin sirt; b) naporli oqim; c) naporsiz oqim; d) 1- oqim chizig‘i; 2- jonli kesim.


asm). Oqim chiziqlarining dastasi oqim naychasi deb ataladi (1.2-rasm). Oqim chizig‘ining yo‘nalishi oqim tezligi bilan mos tushishi zarur. Agar statsionar oqim qaralsa, u holda oqim chizig‘i tasviri o‘zgarmaydi, ammo u suyuqlik molekulasi harakati traektoriyasi bilan mos tushadi. Suyuqlikning statsionar oqimida uning molekulalari oqim naychasini kesib o‘tmaydi.
1.4-rasm. Uzviylik
tenglamasi uchun sxema.
Л
Oqimning jonli kesimi yuzasi со (m ) deb oqimning ko‘ndalang kesimi yuzasiga
Л
aytiladi (1.3,d-rasm). Masalan, doiraviy kesimli quvur uchun о = nd / 4.
Oqim sarfi Q (yoki q) deb t vaqt birligi ichida jonli kesim orqali oqib o‘tgan V suyuqlik hajmiga aytiladi: Q = V/ t.
Oqim sarfi SI birliklar sistemasida m / sek bilan, boshqa birliklar sistemasida esa m / soat ; m / kun ; l / kun bilan ifodalanadi.
Oqimning o ‘rtacha tezligi v - bu oqim sarfining jonli kesim yuzasiga nisbatiga teng (m/s): v = Q / о.
Binolarning suv uzatish quvurlari va kanalizatsiyalaridagi oqimning o‘rtacha tezligi 1 m/s atrofida bo‘ladi.
Naporsiz oqimlarning hisob formulalarida quyidagi ikkita hisob parametrlaridan foydalaniladi:
Ho‘llanish perimetri % (m) - bu oqim jonli kesimi perimetrining bir bo‘lagi bo‘lib, suyuqlik sirtining idish devori bilan tutashgan chegarasi uzunligini bildiradi, soddaroq aytganda, suyuqlikning qattiq devor bilan tutashgan jonli kesimi perimetri. Masalan, 1.3,6-rasmda bu quvur ichki devori kesimining aylanasi uzunligi, 1.3,c- rasmda esa suyuqlikning ichki devori bilan tutashgan yoy bo‘lagi uzunligi.
Gidravlik radius R (m) - bu jonli kesim yuzasining ho‘llanish perimetriga nisbati, ya’ni R = о/ %.
Oqimning uzviylik tenglamasi. Bu tenglama massaning saqlanish qonunini ifodalaydi: quvurga oqib kirayotgan suyuqlik miqdori chiqayotganiga teng. Masalan, 1.2-rasmda tasvirlangan oqim nauchasi yoki 1.4-rasmda tasvirlangan quvur uchun Q₁=Q₂. Bunda Q=vo ekanligidan v₁o₁=v₂o₂. Bu yerdan suyuqlik oqimining quvur- dan chiqishdagi tezligini topamiz: v₂=v₁o₁/o2. Bu yerdan ko‘rinadiki, chiqishdagi oqim tezligi shu yuzaga teskari proporsional, ya’ni suvning uzoqqa otilishini kuzatish mumkin. Masalan, o‘t o‘chirish, ko‘chalarni yuvish, daraxtlar va paxtazorlarni purkab dorilash moslamalarida va hokazo, shu qonuniyatdan foydalaniladi.
Gidrodinamik napor - bu harakatdagi suyuqlikning energetik xarakteristikasi va u quyidagi formuladan topiladi:
H = z + hp + h_v = z + Port. /7+ 0,5v²/g,
bunda z (m) - geometrik napor; h_p (m) - pyezometrik napor; h_v (m) - tezkor napor bo‘lib, suyuqlik harakatining miqdoridir va u kinetik energiyani ifodalaydi; z + h_p - potensial energiyani ifodalaydi; p_ort. - ortiqcha bosim; 7 = pg - solishtirma og‘irlik; p - zichlik; g - erkin tushish tezligi; v (m/s) - oqim tezligi. Shunday qilib, gidro- dinamik napor o‘rganilayotgan suyuqlik oqimi nuqtasining to‘la energiyasini ifodalaydi. Hisob jarayonida h_v oqimning v tezligi qiymatidan topiladi. Gidrodinamik napor nolinchi O-O gorizontal tekislikdan boshlab hisoblanadi (1.5-rasm). Laboratoriya sharoitida h_v tezkor napornning miqdorini pyezometr va Pito trubkalaridagi suyuqlik sathlarining farqi bilan ham aniqlash mumkin. Pito trubkasining pyezometrdan farqi uning suyuqlikka botirilgan uchining suyuqlik oqimiga qarshi qayrilganligida va u pyezometr kabi nafaqat suyuqlik ustunining bosimiga, balki yana oqim harakatining tezlik ta’siriga qarab ham o‘zgaradi.
Bernulli tenglamasi (suyuqlik uchun) quyidagicha:
zi + port.1 7+ 0,5 vi²/g = z2 + port.2 7 + 0,5 v 2²/g +AH , yoki naporlar orqali (1.5-rasm)
zi + hpi + hvi = z2 + hp2 + hv2 +AH ,
bunda AH - oqimning birinchi (boshlang‘ich) va ikkinchi (oxirgi) kesimlari orasidagi yo‘qotilgan napor (yoki naporlar farqi).
Bernulli tenglamasi energetik ma’nosiga ko‘ra energiyaning saqlanish qonunini
Л
ifodalaydi: potensial energiya (z + h_p), kinetik energiya (0,5v /g) va yo‘qotilgan energiyaning miqdorlari yig‘indisi oqimning barcha nuqtalari uchun o‘zgamas.
Bernulli tenglamasining geometrik ma’nosi: oqimning barcha nuqtalaru uchun to‘rtta z , h_p , h_v , AH balandliklarning yig‘indisi o‘zgarmas.
Bernulli tenglamasidan quyidagi natijalar kelib chiqadi:

• 
  Gorizontal quvurdan suyuqlikning oqishi. Bunday holda Bernulli tenglamasi quyidagicha yoziladi: pv /2+p = const. Bu ifodadan quvurning katta tezlikli bo‘lagida bosimning kam ekanligi kelib chiqadi. Sharrachaning uzviyligi tenglamasiga ko‘ra quvurning ko‘ndalang kesimi kichik bo‘lagida oqimning tezligi katta, natijada, oqim quvurning qisqargan bo‘lagiga o‘tishida bosim kamayadi. Bosimning bunday pasayishi suyuqlikni quvur o‘qi bo‘ylab tezlanish bilan oqishga majbur qiladi. Tezlik va bosim quvur o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan koordinatadan bog‘liq, ammo tezlanish yo‘nalishi suyuqlik oqimi tezligining yo‘nalishidan bog‘liq emas.
  
• 
  Suyuqlikning idishdan oqib chiqishi. Faraz qilaylik, suyuqlik idish tubidan burg‘u bilan ochilgan kichkina techik orqali oqib chiqmoqda. Hamma oqim chiziqlari idish tubidan va teshikdan h balandlikda joylashgan erkin sirt orqali o‘tadi, bunda barcha oqim chiziqlari uchun Bernulli tenglamasining o‘zgarmasi bir xil bo‘ladi. Shu chiziqlardan bittasini qaraylik, bunda erkin sirtdagi oqim tezligi teshikdan oqib chiqayotgan suyuqlik tezligiga nisbatan hisobga olmaslik darajada kichik deb faraz qilaylik. Buni hisobga olib, erkin sirt sathi va teshik orasidagi oqim chizig‘iga Bernulli tenglamasini qo‘llaylik: p_atm +pg h = p_atm + pv / 2, bu yerda p_atm - atmosfera bosimi; v - idish teshigidan suyuqlikning oqib chiqish tezligi. Bu tenglamadan Torricheli formulasi deb atalivchi idish teshigi orqali suyuqlikning oqib chiqish tezligi ifodasini olamiz: v=^J2gh. Ideal suyuqlikning
  

idish teshigidan oqib chiqish tezligi formulasi jismning h balanglikdan erkin tushishi bilan o‘xshash. Aslida esa haqiqiy suyuqliklar uchun idish teshigidan oqib chiqish tezligi qiymati kichikroq bo‘ladi, ya’ni v = 2gh, bu yerda -
eksperiment orqali aniqlanuvchi tezlik (suyuqlik sarfi) koeffitsienti bo‘lib, teshikning chuqurligi h va suyuqlik sathiga ta’sir etayotgan bosimdan bog‘liq, masalan, doiraviy kesimli teshik uchun juq = 0,95 . . . 0,99.
Oqimlarning harakat rejimi. Barcha naporli va naporsiz oqimlarning harakat rejimi ikki turga bo‘linadi (1.6-rasm):

• 
  laminar (sokin, parallel sharrachali, kichik tezlikli oqimlar), bunda Re < Re*_r ;
  
• 
  turbulent (po‘rtanali, uyurmali, katta tezlikli oqimlar) bunda Re > Re*_r . Soddaroq qilibda aytganda:
  
• 
  laminar oqim - bir-biriga tegib oqayotganda aralashmaydigan qatlamli oqish;
  
• 
  turbulent oqim - tezlik ortganda qatlamlarning tartibsiz ravishda aralashib oqishi.
  

Reynolds soni (Re) - bu o‘lchamsiz son (kriteriya) bo‘lib u quyidagi formulalar bo‘yicha hisoblanadi (1.6-rasm):

• 
  naporsiz oqimlar uchun Re = v R / и, bunda v - o‘rtacha tezlik; и - kinematik qovushoqlik koeffitsienti; R - naporsiz oqimning gidravlik radiusi (m).
  
• 
  naporli oqimlar uchun Re = v d / и , bunda v - o‘rtacha tezlik; d - naporli quvurning ichki diametri (m); и - kinematik qovushoqlik koeffitsienti;
  

Reynoldsning kritik soni (Re*_r) - bu oqim rejimi o‘zgarishi yuz beradigan Reynolds soni: naporli oqimlar uchun Re*_r=2320; naporsiz oqimlar uchun Re*_r^500.




a


b



1


1.5-rasm. Gidrodinamik napor tushuncha- siga sxema: 1-pyezometr; 2 -Pito trubkasi.
.6-rasm. Suyuqlik harakati rejimini
aniqlash uchun Reynolds soni skalasi (a -
laminar oqim; b - turbulent oqim)
Sinov savollari

1.