Reja: To'g'ridan-to'g'ri Laplas konvertatsiyasi

Mavzu: Laplas almashtirishlari. Elementar funksiyalarning Laplas almashtirishlari yordamidagi tasvirlari

REJA:

1. 
   To'g'ridan-to'g'ri Laplas konvertatsiyasi
   
2. 
   Xossalar va teoremalar
   
3. 
   Laplasning energiyaga aylanishi
   
4. 
   Xulosa
   
5. 
   Foydalanilgan Adabiyotlar
   

1. To'g'ridan-to'g'ri Laplas konvertatsiyasi

Laplas konvertatsiyasi murakkab o‘zgaruvchi (tasvir) funksiyasini haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyasi (original) bilan bog‘laydigan integral transformatsiyadir. U dinamik tizimlarning xossalarini o‘rganish, differensial va integral tenglamalarni yechishda qo‘llaniladi.

Ilmiy va muhandislik hisoblarida keng qo'llanilishini oldindan belgilab bergan Laplas konvertatsiyasining xususiyatlaridan biri shundaki, asl nusxadagi ko'plab munosabatlar va operatsiyalar oddiyroq tasvirlarga mos keladi.

Ta'sir etuvchi o'zgaruvchining funktsiyasini Laplas konvertatsiyasi kompleks o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lib, shunday qilib:
1. To'g'ridan-to'g'ri Laplas konvertatsiyasi

Haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyasini Laplas o'zgartirilishi kompleks o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lib, shunday qilib:

Bu ifodaning o'ng tomoni Laplas integrali deb ataladi.

2. Laplasning teskari konvertatsiyasi

Kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini teskari Laplas konvertatsiyasi haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lib, shundayki:

haqiqiy raqam qayerda. Bu ifodaning o'ng tomoni Bromvich integrali deb ataladi.

3. Ikki tomonlama Laplas transformatsiyasi

Ikki tomonlama Laplas konvertatsiyasi - bu funksiya uchun x < 0 qiymatlari ishtirok etgan muammolar holatiga umumlashtirish.

Ikki tomonlama Laplas konvertatsiyasi quyidagicha aniqlanadi:

4. Diskret Laplas konvertatsiyasi

U kompyuterni boshqarish tizimlari sohasida qo'llaniladi. Diskret Laplas konvertatsiyasi panjara funksiyalariga qo'llanilishi mumkin.

-transformatsiya va -transformatsiyani farqlang.

- konvertatsiya

Bo'lsin

panjara funktsiyasi, ya'ni bu funktsiyaning qiymatlari faqat diskret vaqtlarda aniqlanadi , bu erda butun son va tanlama davri. Keyin Laplas konvertatsiyasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:


- konvertatsiya

Agar o'zgaruvchilarning quyidagi o'zgarishini qo'llasak:

2. Xossalar va teoremalar

Mutlaq konvergentsiya

Agar Laplas integrali s = s 0 uchun absolyut yaqinlashsa, ya’ni chegara mavjud.

u holda u uchun mutlaq va bir xil yaqinlashadi va F(lar) uchun analitik funksiya ( s kompleks o‘zgaruvchining haqiqiy qismidir). Bu shart bajariladigan s sonlar to’plamining infimum s a f(x) funksiya uchun Laplas konvertatsiyasining mutlaq yaqinlashuvining abtsissasi deyiladi.

To'g'ridan-to'g'ri Laplas konvertatsiyasining mavjudligi uchun shartlar

Laplas konvertatsiyasi mutlaq yaqinlik ma'nosida quyidagi hollarda mavjud:

Case : Agar integral mavjud bo'lsa, Laplas konvertatsiyasi mavjud

s > s a holi: agar integral bo'lsa, Laplas konvertatsiyasi mavjud


har bir chekli uchun mavjud:
x₁ > 0 и  для 
s > 0 yoki s > s a (chegaralarning qaysi biri katta) hollari: f'(x) funksiyasi (f(x) ning hosilasi) s > s a uchun Laplas konvertatsiyasi mavjud bo‘lsa, Laplas o‘zgarishi mavjud bo‘ladi.

Eslatma: bu mavjudlik uchun etarli shartlar.

Teskari Laplas konvertatsiyasining mavjudligi uchun shartlar

Teskari Laplas konvertatsiyasining mavjudligi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi kifoya:

1. Agar F(lar) tasviri analitik funksiya bo‘lsa va −1 dan kichik tartib bo‘lsa, u uchun teskari o‘zgartirish mavjud bo‘lib, argumentning barcha qiymatlari uchun uzluksiz bo‘ladi va

для 
2. Пусть
,
так что 

har bir zk ga nisbatan analitik va nolga teng
, и

u holda teskari transformatsiya mavjud bo'ladi va mos keladigan to'g'ridan-to'g'ri transformatsiya mutlaq yaqinlashish abscissasiga ega bo'ladi.

Rasmni ko'paytirish
Ushbu ifodaning chap tomoni dinamik tizimlar nazariyasida muhim rol o'ynaydigan Dyuhamel integrali deb ataladi.

Asl nusxani farqlash va birlashtirish

Laplasning fikriga ko'ra, argumentga nisbatan asl nusxaning birinchi hosilasi tasvirning ko'paytmasi va ikkinchisining argumenti o'ngdagi noldan asl nusxadir.

Umumiy holatda (n-tartibli hosila):

Argumentga nisbatan asl integralning Laplas tasviri asl nusxaning argumentiga bo'lingan tasviridir.

Tasvirni farqlash va integratsiya. Argumentga nisbatan tasvir hosilasining teskari Laplas konvertatsiyasi qarama-qarshi belgi bilan olingan asl nusxa va uning argumenti mahsulotidir.

Argumentga nisbatan tasvir integralining teskari Laplas konvertatsiyasi bu tasvirning argumentiga bo'lingan asl nusxasidir.

Asl nusxalar va tasvirlarni kechiktirish. Limit teoremalari

Tasvirning kechikishi:

Asl kechikish:


Eslatma: u(x) - Og'ir tomoni funksiyasi.

Boshlang'ich va yakuniy qiymat teoremalari (chegara teoremalari):

Barcha qutblar chap yarim tekislikda joylashgan. Cheklangan qiymatlar teoremasi juda foydali, chunki u cheksizlikdagi asl nusxaning harakatini oddiy munosabat bilan tasvirlaydi. Bu, masalan, dinamik tizim traektoriyasining barqarorligini tahlil qilish uchun ishlatiladi.


Boshqa xususiyatlar
Chiziqlilik

Raqamga ko'paytirish

6. Ayrim funksiyalarni to'g'ridan-to'g'ri va teskari Laplas transformatsiyasi

Quyida ba'zi funktsiyalar uchun Laplas o'zgartirish jadvali keltirilgan.

Jadval qaydlari

:
— og'ir funktsiya

• 
  .
  

— delta funktsiyasi

• 
  .
  

— gamma funktsiyasi

• 
  .
  

— Eyler-Mascheroni doimiysi

• 
  .
  

, — haqiqiy o'zgaruvchi

• 
  .
  

— murakkab o'zgaruvchi

• 
  .
  

,  ,  и  — haqiqiy raqamlar.
— butun son

• 
  Kauzal sistema – impuls uzatish funksiyasi h(t) vaqtning istalgan momenti uchun nolga teng bo‘lgan sistema
  

7. Laplas konvertatsiyasining qo'llanilishi

Laplas konvertatsiyasi matematikaning (operatsion hisob), fizikaning va texnologiyaning ko'plab sohalarida keng qo'llaniladi.
• Matematik analizning murakkab tushunchalaridan oddiy algebraik munosabatlarga oson o‘tish uchun Laplas konvertatsiyasi yordamida differentsial va integral tenglamalar tizimini yechish.
• Analog filtrlar kabi dinamik tizimlarning uzatish funksiyalarini hisoblash
.

• 
  Boshqarish nazariyasi va signallarni qayta ishlashda dinamik tizimlarning chiqish signallarini hisoblash — chiziqli statsionar tizimning chiqish signali uning impuls javobining kirish signali bilan konvolyutsiyasiga teng bo‘lganligi sababli, Laplas konvertatsiyasi bu amalni oddiy ko‘paytirish bilan almashtirish imkonini beradi.
  
• 
  • Elektr zanjirlarini hisoblash. Operator usuli yordamida sxemani tavsiflovchi differensial tenglamalarni yechish orqali ishlab chiqariladi
  
• 
  .
  
• 
  Matematik fizikaning nostatsionar masalalarini yechish.
  
• 
  8. Boshqa transformatsiyalar bilan munosabat
  
• 
  Asosiy aloqalar
  
• 
  Deyarli barcha integral o'zgarishlar o'xshash xususiyatga ega va bir-biridan mos keladigan ifodalar orqali olinishi mumkin. Ularning aksariyati boshqa o'zgarishlarning alohida holatlaridir. Quyida Laplas konvertatsiyasining boshqa funktsional o'zgarishlarga tegishli formulalari keltirilgan
  

.
Laplas-Karson o'zgarishi
Laplas-Karson o'zgarishi Laplas konvertatsiyasidan uni kompleks o'zgaruvchiga ko'paytirish orqali olinadi
.

Ikki tomonlama Laplas konvertatsiyasi
Ikki tomonlama Laplas konvertatsiyasi quyidagi formula yordamida bir tomonlama Laplas konvertatsiyasi bilan bog'liq
:

Furye konvertatsiyasi
Uzluksiz Furye konvertatsiyasi murakkab argumentli ikki tomonlama Laplas konvertatsiyasiga teng.
s = iω:

Eslatma: Bu iboralarda masshtab koeffitsienti olib tashlangan.

Bu ko'pincha Furye konvertatsiyasining ta'riflariga kiritilgan.
Furye va Laplas konvertatsiyalari o'rtasidagi munosabatlar ko'pincha signal yoki dinamik tizimning chastota spektrini aniqlash uchun ishlatiladi.
Mellin o'zgarishi
Mellin konvertatsiyasi va teskari Mellin konvertatsiyasi o'zgaruvchilarning oddiy o'zgarishi bilan ikki tomonlama Laplas konvertatsiyasi bilan bog'liq. Agar Mellin transformatsiyasida bo'lsa

th = e - x ni o'rnatamiz, keyin ikki tomonlama Laplas konvertatsiyasini olamiz.
Z-transformatsiyasi
Z-transformatsiyasi - bu o'zgaruvchilarning o'zgarishi yordamida amalga oshiriladigan panjara funktsiyasining Laplas konvertatsiyasi:

bu erda namuna olish davri va signalning namuna olish chastotasi. Ulanish quyidagi munosabat yordamida ifodalanadi:

Borel konvertatsiyasi
Borel transformatsiyasining integral shakli Laplas konvertatsiyasi bilan bir xil bo'lib, umumiy Borel transformatsiyasi ham mavjud bo'lib, uning yordamida Laplas transformatsiyasidan foydalanish yanada kengroq funktsiyalar sinfiga kengaytiriladi.