Reja: To'g'ridan-to'g'ri Laplas konvertatsiyasi

3. Laplasning energiyaga aylanishi
Keling, tenglamani yozamiz

monoenergetik manba uchun S(E)=(E-E0) integral a’zosi quyidagi shaklda


va oddiylik uchun kesmalarning bog'liqligini e'tiborsiz qoldirmasdan
Σ(E) и

E dan, E dan yangi o'zgaruvchiga o'ting
= :

Ф()=Ф(E) (1)
Ushbu tenglamaning yechimini energiyaning Laplas konvertatsiyasi yordamida olish mumkin:
(2)
(3)
Buni bioortogonal funktsiya tizimi nuqtai nazaridan differensial oqim zichligining kengayishi deb hisoblash mumkin.
и  .

Operator tomonidan (1) tenglamaning barcha shartlariga amal qilaylik

(3) ga muvofiq shaklga o'tkazishning birinchi muddati

Ikkinchi muddatda integrallash tartibini o'zgartirish va  dan yuqori integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish kerak.

Shunda u xayoliga keladi
,
где  (4)
- differensial sochilish kesimining Laplas konvertatsiyasi.
(1) tenglamaning o'ng tomoni osongina o'zgartiriladi, shundan so'ng biz olamiz
’
. (5)

(5) ni (2) ga almashtirib, bizni qiziqtirgan F() funksiyani topamiz: Agar bo'lim

Q ortishi bilan tez kamayadi, (4) ko'rsatkichni ketma-ket kengaytirish mumkin.
Keyin

bu erda yo'l uzunligi birligiga energiya yo'qotilishining o'rtasi. Biz bu kengaytmani (6) ga almashtiramiz va o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz

Тогда (6) перейдет в:

Qoldiqlar yordamida integralni hisoblab, o'zgaruvchidan E o'zgaruvchisiga qaytsak, biz quyidagilarni olamiz:
(7)
(7) formuladagi ko'rsatkich zarrachaning energiya E0 dan E ga o'tadigan yo'lda yutilishdan qochish ehtimolidir. Agar yutilish kesimi nolga teng bo'lsa, u holda
(8)
Formula (8) oddiy jismoniy ma'noga ega. Taʼrifga koʻra, F(E)=dE zarraning energiyasi E+dE dan E ga oʻzgargan vaqt davomida bosib oʻtgan oʻrtacha yoʻldir.
Uzluksiz sekinlashuvning yaqinlashuvida dE/dl=, shundan dl/dE=1/, bu (8) ga to'g'ri keladi.
10. Koordinatalarda Laplas o'zgarishi
Koordinatalar boshida joylashgan monoenergetik manba chiqaradigan zarralar uchun kinetik tenglamani "to'g'ridan-to'g'ri" (ya'ni, tarqalish paytida zarrachalarning og'ishini hisobga olmagan holda) taxminan yozamiz:
(208)
(209)
Zarrachalar Oz oʻqining musbat yoʻnalishida chiqarilayotganligi sababli z0 mintaqada oqim zichligi 0 ga teng, (208) tenglamadagi z diapazoni yarim cheksiz interval (0,) sifatida qabul qilinishi kerak. . Bu holat (208) tenglamani yechish uchun koordinatalarda Laplas konvertatsiyasini qo‘llash imkonini beradi:
(210)

bu yerda Laplas konvertatsiyasi F(,E) oqim zichligida quyidagicha ifodalanadi:  (211)
(208) tenglamaning ikkala tomonini 0 dan  gacha z ga ko‘paytiramiz va integrallashamiz. Chegaraviy shartni (209) hisobga olgan holda va (211) belgidan foydalanib, birinchi hadni qismlar bo'yicha integrallash orqali o'zgartirib, biz quyidagilarni olamiz:

(208) tenglamaning qolgan a’zolarini Laplas transformatsiyasidan so‘ng oqim zichligi transformatori tenglamasiga kelamiz:
(212)
u (208) dan farqli ravishda hosilalarni o'z ichiga olmaydi va energiya degradatsiyasi tenglamasi turining integral tenglamasidir. Belgilanish bilan tanishtirish orqali
(213)
Перепишем уравнение (312) в виде

(214)
Haqiqiy uchun (214) tenglama makroskopik to'qnashuv kesimi va differensial sochilish kesimiga ega bo'lgan zarralar uchun energiya degradatsiyasi tenglamasi shaklida mos keladi.

(213) dan ko'rinib turibdiki,  kamayishi bilan u yo'qoladi, keyin esa manfiy bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, (214) tenglamaning yechimi faqat mintaqada mavjud


Agar shart bajarilsa

keyin oqim zichligining tarqoq komponentining transformanti uchun olamiz
(215)
Agar va C energiyaga bog'liq bo'lmasa, formula (215) soddalashtiradi:
(216)
Keling, tarqoq zarrachalarning energiya spektrini qayta tiklashga o'tamiz:

(217)
гдеRe=C-
Keling, belgi bilan tanishamiz


Keyin (217) formula quyidagi shaklni oladi:
(218)
s-2exp(a/s) funksiyaning teskari Laplas konvertatsiyasi bo'lgan funksiya ga teng.
'
Bu erda I1 birinchi tartibli o'zgartirilgan Bessel funksiyasi. Shunday qilib

(219)
Xususan, I1(x) argumentining kichik qiymatlari uchun, shuning uchun
(220)
Argumentning katta qiymatlari uchun
, Natijada
,

(221)
Xulosa
Men bu mavzudan shuni tushundimki (219)–(221) dan ko‘rinib turibdiki, z ortishi bilan tarqalgan nurlanishning tarqalmagan nurlanish nisbati birinchi navbatda chiziqli (yakka tartibdagi sochilish asosiy rol o‘ynaganda), so‘ngra kam energiyali qismi bilan murakkabroq tarzda ortadi. spektrning ko'p tarqalishi tufayli yuqori energiyali qismga qaraganda tezroq o'sadi.


Adabiyotlar ro'yxati
1. A.M. Kolchujkin, V.V. Uchaykin "Zarralarning moddadan o'tishi nazariyasiga kirish". M., Atomizdat, 1978, 256s.
2. V.N.Rusak “Matematik fizika”, Minsk, 1998 yil
3. Gustav Dekch "Laplas va Z-transformani amaliy qo'llash bo'yicha qo'llanma" M .: Nauka, 1971 y.
4. L.G. Smishlyaeva "Bir nechta o'zgaruvchilarning Laplas funktsiyalarini o'zgartirishi" Leningrad davlat universiteti nashriyoti, 1981 yil