Reja Sonli qator yig‘indisi tushunchasi Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar Ikki karrali qatorlar Sonli qator yig‘indisi tushunchasi

Reja

1.Sonli qator yig‘indisi tushunchasi

2. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar

3. Ikki karrali qatorlar

1. 
   Sonli qator yig‘indisi tushunchasi
   

Biror {a_k} sonli ketma-ketlik berilgan bo'lsin. Uning elementlaridan

formai ravishda tuzilgan

ko'rinishdagi ifodaga sonli qator (yoki oddiy qilib qator) deyiladi. Ketma-ketlikning a_k elementlari qatorning hadlari deb ataladi. Ushbu qatorni ∑ belgidan foydalanib yana quyidagicha ham belgilashadi:

bunda yig'indining yuqori chegarasi qator hadlari sonining cheksiz ekanini anglatadi. 2*. Sonli qator yig'indisi tushunchasini aniqlash bo'yicha uchta yondashishni keltirish mumkin. Birinchisida cheksiz sondagi hadlarni, ular qanchalik kichik bo'lishidan qat’iy nazar. qo'shib chiqish jarayoni hech qachon tugamaydi deb hisoblanib, bunday yig'indining biror ma’noga ega ekani umuman inkor etiladi. Bunday yondashish, Axilles va toshbaqa nomi bilan tanilgan, Zenon Eleyskiy (eramizdan avvalgi 490-430 - yillarda yashagan) paradoksida o‘z aksini yaqqol topgan. Bu paradoksga ko‘ra, Axilles toshbaqaga yetib olish maqsadida, awal toshbaqa boshlang‘ich vaqtda turgan P0 nuqtaga kelishi kerak, ammo toshbaqa bu vaqt ichida boshqa biror PW nuqtada bo'ladi. Axilles Pi nuqtaga yetib kelganda esa, toshbaqa navbatdagi P2 nuqtaga keladi va hokazo. Modomiki Axilles bosib o'tishi kerak bo‘lgan yo‘l cheksiz sondagi oraliqlardan (ulaming uzunligi istalgancha kichik bo'lishiga qaramasdan) iborat ekan, ularni qo'shib chiqish jarayoni (Zenon fikricha) eheksiz ko‘p vaqt talab qiladi va shuning uchun, Axilles hech qaehon toshbaqaga yeta olmaydi. Ikkinchi yondashish tarafdorlari istalgan eheksiz qator yig‘indiga ega va bu yig‘indini hisoblash uchun arifmetikaning oddiy qoidalari yetarli, deb hisoblaj'dilar. Ayniqsa o‘rta asrlarda bunday qarash keng tarqalgan edi. Masalan,

S = 1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

belgilash kiritib, biz

S = 1 - (1 - 1+ 1-1 + ...)

deb yozishimiz mumkin, ya’ni

S = 1-5.
Bundan S =1/2 ekani kelib chiqadi. Qizig'i shundaki, bu yondashish tarafdorlarini butun sonlar yig‘indisining to‘g‘ri kasr bolib qolgani ajablantirmagan. Ammo bu yondashishning qoniqarli emasligi quyidagi

S* = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...

qator rnisolida yaqqol ko'zga tashlanadi. Chunki
S* = 1 + (1 + 1 + 1 + 1 + ...)
deb yozib olsak,

S* = 1 + S*

bo'ladi va bundan esa shubhasiz noto‘g‘ri bo'lgan 0 = 1 natijani olamiz. Nihoyat, uchinchi yondashish shundan iboratki, unda barcha sonli qatorlar ichidan faqat biror qoniqarli ma’noda yig‘indi tushunchasini kiritish mumkinlarinigina ajratib olinib, qolganlarini esa o'rganilmaydi. Limitlar nazariyasiga tayangan bu yondashish XIX asr matematiklari tomonidan rivojlantirildi va u juda sermahsul bo'lib chiqdi. 0 ‘sha vaqtda kiritilgan sonli qator yig‘indisi tushunchasi, yig'indiga ega bo'lgan qatorlar sinfini kengaytirish natijasida; doimo rivojlantirildi va hozir ham rivojlanib kelmoqda.

3 . Navbatdagi maqsadimiz (9.1.1) cheksiz yig'indiga, xuddi chekli sondagi hadlar yig'indisi xossalariga ega bo'ladigan qilib, ma’no berishdan iboratdir. Buning uchun, dastlabki n ta hadning yig'indisini hisoblab, n cheksiz kattalashganda bu yig'mdining o'zgarishini kuzatamiz. Ta’rif, Berilgan (9.1.1) qatoming dastlabki n ta hadi yig'indisini bu qatoming n- qismiy yig‘indisi deb ataymiz va Sn simvoli orqali belgilaymiz: