Reja Sonli qator yig‘indisi tushunchasi Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar Ikki karrali qatorlar Sonli qator yig‘indisi tushunchasi

Isbot. Quyidagi

P_nk = maх{а_nk, 0}, q_nk = max{- а_nk, 0}

belgilashlarni kiritamiz.

Ravshanki, bunda

tengliklar bajariladi.

Shartga ko‘ra

qator absolyut yaqinlashadi. Bundan chiqdi, 9.1.2 - tasdiqqa asosan,

tenglik o'rinli, chunki (9.4.13) tengsizlikdan o‘ng tomondagi qatorlarning yaqinlashuvchuigi kelib chiqadi. Demak.

Boshqa tomondan, 9.4.1 - teoremaga asosan, (9.4.12) qatorning yaqinlashishidan quyidagi

takroriy qatorning ham yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak, yuqoridagi mulohazalami takrorlasak,

tenglikka ega bo'lamiz.

Endi 9.4.1 - teoremani qo'llasak, (9.4.16) va (9.4.15) tengliklarning o‘ng tomonidagi qatorlarning o'zaro tengligini olamiz. Shunday ekan, qayd etilgan tengliklarning chap tomonlari ham o‘zaro tengdir.

Natija. Ikki karrali {а_nk}, ketma-ketlik indekslari n ≥ k ≥ 1 tengsizlikni qanoatlantirganda aniqlangan bo‘lsin. Agar

qator yaqinlashsa, u holda chap va o‘ng tomonlari yaqinlashuvchi qatorlardan iborat bo‘lgan quyidagi

tenglik bajariladi.

Bu tasdiqni isbotlash uchun k > n boiganda ikki karrali ketmaketlik hadlarini a_nk = 0 deb aniqlab, (9.4.5) tenglikni qo‘llash yetarli

Eslatma. Agar qator absolyut yaqinlashmasa, xatto (9.4.5) tenglikning har ikkala tomonida yaqinlashuvchi qatorlar tursa ham, bu tenglikning bajarilishini kafolatlab bo'lmaydi.

9.4.2 - misol. Hadlari a_nk=∂_nk-∂_(n+1),k ko'rinishda aniqlangan ikki karrali ketma-ketlikni qaraymiz. Aniqroq tassovur qilish maqsadida bu ketma-ketlik qiymatlarini quyidagi

cheksiz matritsa ko‘rinishida yozib olamiz Bu matritsa bosh diagonalida joylashgan barcha elementlar 1 ga teng bo‘lib, undan yuqoridagi diagonalda joylashgan barcha elementlar -1 ga teng. 0 ‘z-o‘zidan ko'rinib turibdiki, bunda har bir satr elementlari yig'indisi ham, ikkinchi ustundan boshlab, har bir ustun elementlari yig:indisi ham nolga teng. Birinchi ustun elementlari

yig‘indisiga kelsak, ravshanki, u 1 ga teng. Shunday qilib, qaralayotgan holda



ya’ni har ikki t.akroriy qator yaqinlashsada, ularning yig'indisi o'zaro teng bolmas ekan.