Reja: Sonli ketma-ketlik, rekurrent tenglik, Fibonachchi qatori

k=0 k=0 k=0
munosabatni hosil qilamiz. ■
2-xossa. Agar a₀, a_va₂,...,a_n,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f_a(x) va b₀,b_vb₂,..., b_n,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi
funksiyasi f.(x) bo'lsa, иholda elementlari "« ⁼ ^^flA-i
!=0
(n=0,l,2,...) sonlardan iborat bo'lgan d₀,d_v,d₂,...,d_n,... ketma-ket­likning hosil qiluvchi funksiyasi f(x)=f_a(x)f_b(x) bo'ladi.
Haqiqatan ham, ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi ta'rifiga ko'ra,

Ayrim ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini awal-dan ma'lum bo'lgan hosil qiluvchi funksiyalarga mos darajali qatorni hadlab differensiallash amali yordamida topish mumkin.

3-misol.Ushbu 0,1,2,3,...ketma-ketlikning hosil qiluvchi
funksiyasi /X^х) = тг^ \Z bo'ladi.
цX)
Haqiqatan ham, qaralayotgan ketma-ketUkka 2-i ^ ko'rinish-dagi darajali qator mos keladi. Darajali qatorni hadlab, differen­siallash amalini 2_,^xqatorga qo'llab va |xj<1 bo'lgan hoi uchun
V *_ ^l o'rinli 2*^x ~ i Z tenglikm hisobga olib, quyidagi tengliklar
k=Q j 1 - л
ketma-ketligihi yozamiz:

Umuman olganda, hosil qiluvchi funksiyalarni tuzishda darajali qatorni hadlab, differensiallash amalidan foydalanish quyidagi xossaga tayanadi.
3-xossa. Agar a₀,a_va₂,...,a_n,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f_a(x) bo'lsa, и holda elementlari b_n=(n+l)a_n+l (я=0,1,2,...) sonlardan iborat b₀,b_vb₂,...,b_n,... ketma-ketlikning
hosil qiluvchi funksiyasi f_b{x) = —^— bo 'ladi.
Fibonachchi sonlari (ketma-ketligi) tabiatda eng koʻp uchraydigan ketma-ketliklardan boʻlib, quyidagicha taʻriflanadi: