Reja: Sonli ketma-ketlik, rekurrent tenglik, Fibonachchi qatori

f(x) = ^y£_ja_kx^k
k=0
funksiyaa_Q,a_va₂,...,a_n,... ketma-ketlikning hosil qiluvchifunksiyasi, deb ataladi.
Bu yerda, J{x) funksiyani aniqlovchi qatorning yaqinlashuvchi bo'lishi uchun x o'zgamvcMning haqiqiy yoki kompleks qiymatli bo'lishi muhim ahamiyatga ega emas.
Matematik tahlil kursidan ma'lumki, agar
f(x) = Ya_kx^k
/fc=0
darajali qator x=0 nuqtaning qandaydir atrofida yaqinlashuvchi
f^ik)(0)
bo'lsa, u holda a_k= (k=0,l,2,...) formula o'rinli bo'ladi,
bu yerda, /^k)(0) ifoda Дх) funksiyadan olingan A:-tartibli hosila-sining x=0 nuqtadagi qiymatidir.
1-misol.Hadlari faqat birlardan iborat bo'lgan 1,1,...,1,... sonlar
ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasi f(x) = ko'ri-
nishga ega bo'ladi.
Haqiqatan ham, 1,1,...,1,... sonlar ketma-ketligiga
l+x+x²+...+x"+...
darajali qator mos keladi va bu darajali qatorning hadlari maxraji x ga teng bo'lgan
ko'rinishdagi geometrik progressiyadan iboratdir. Elementar matematika kursidan ma'lumki, bu progressiya |jc|<1 bo'lganda,cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo'ladi va uning barcha hadlari yig'indisi
1 + X + x²+ ... + x" +...-
1-х
formula bilan ifodalanadi. ■
2-misol.1-misoldagidek mulohaza yuritib, har qanday chekli a songa mos keluvchi l,a,a²,...,an,... sonlar ketma-ketligining hosil
1
qiluvchi funksiyasi f(x) = - ko'rinishda bo'lishini aniqlash
mumkin. ■

Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari.

Hosil qiluvchi funksiyalar bir qator xossalarga ega.Biz quyida shunday xossalardan ba'zilarini oddiy xossalar sifatida keltiramiz.Ular hosil qiluvchi funksiyalarni tuzish hamda ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko'mak berishadi.
1-xossa. Agar a^a^a^...^^... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f_a(x) va b₀,b_pb₂,..., b_n,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f_b(x) bo'lsa, иholda
a+b₀, a+b_v a+b₂, ..., a±b_n, ...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi A^x)⁼f_a(^x) ^±f_b(^x) b° ladi.
Haqiqatan ham, f_a(^x) ~ 2-i ^аь^хvaЛ(^х) ~ 2-i "к^хbo'lgani
k=0 k=0
uchun, darajali qatorlarni hadlab qo'shib (ayirib),
f(x) = £ (a_k ± b_k)x^k= £ a_kx^k ± £ b_kx^k= f_a(x) ± f_b(x)