Reja: ►Nazariy mexanika fanining tadqiqot obyektlari

Bu yerda

ekanligini hisobga oldik.
Nazorat savollari
1. Barqaror (turg’un) muvozanat holati deganda nimani tushunasiz
2. Erkin tebranishlar tenglamasini yozing.
3. Kichik tebranishlarda to’la energiya nimaga teng ?
4. So’nuvchi tebranishlarda kuch qanday bo’ladi ?
5. Davriy tebranishlarda amplitude nimaga teng ?
6. Majburiy tebranishni tushuntiring?
7. Rezonans nima?
16-ma’ruza: KO’P ERKINLIK DARAJASIGA EGA BO’LGAN
SISTEMADA TEBRANISHLAR
REJA
 Bunday sistema uchun Lagranj funksiyasi.
 Harakat tenglamasi va uning yechimi.
 Normal koordinatalar.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Sistemaning erkinlik darajasi soni, sistema potensial energiyasi,sistema kinetik energiyasi, sistema Lagranj funksiyasi, Lagranj tenglamasi.
Sistemaning erkinlik darajasi soni S -ga teng bo’lsin. Bunday sistemaning
erkin tebranishlari nazariyasi bir o’lchami tebranishlar nazariyasiga o’xshash bo’ladi.
Agar sistema potensial energiyasi = (i=1,2,3,….s) nuqtasida minimumga ega bo’lsa, = kichik siljish kiritib, oldin ko’rganimizdek, potensial energiyani katorga yoyish asosida yozishimiz mumkin:

u=1/2

Bu yerda koeffisiyent k indekslar bo’yicha simmetrik bo’ladi:

Shu asosda kinetik energiyani ham

Ko'rinishda yozib, Lagranj funksiyasini


(1)

deb yoza olamiz.

Harakat tenglamasi va uning yechimi

Lagranj funksiyaning to’liq differensialini yozamiz:

i →k almashtirish o’tkazsak

Bundan


,

Lagranj tenglamasi esa

kabi yoziladi. Bu S -ta chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini
olamiz. Ularning umumiy yechimi

tariqasida axtaramiz. U holda (2) o’rnida

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz. Bu sistemaning noldan farqli

yechimi

determinantning nolga tengligi bilan aniqlanadi:


=0
Bu determinantni ochib chiqsak, ω 2 -ga nisbatan S -chi darajadagi tenglamani
olamiz. U esa (α = 1,2,..., S) haqiqiy ildizlarga ega bo’ladi. Shu yul bilan
aniqlangan kattaliklar sistemasining xususiy chastotalari deyiladi. Topilgan
ildizlarni (3) tenglamaga qo’yib, har bir -ga mos keluvchi koeffisiyentlarni
topamiz. Agar barcha ildizlar bir-biridan farq qiluvchi bo’lsa, ildizlar (4)
aniqlovchining minorlariga proporsional bo’ladi va bu minorda ildizlarga
almashtirilgan bo’ladi.
U holda yechim

bu yerda -ixtiyoriy koeffisiyent, - (5) ning minori. Umumiy yechim

bu yerda

Shunday qilib, sistema koordinatalari har birining vaqt bo’yicha o’zgarishi ixtiyoriy

amplitudali va fazali, aniq chastotaga ega bo’lgan S -ta oddiy davriy tebranishlar
ar to’plamidan iborat bo’ladi.
Normal koordinatalar
Umumlashgan koordinatalarni shunday qilib tanlab olish mumkinki,
ularning har biri oddiy bita tebranishni ifodalasin. Haqiqatan, (5) tenglamalar
sistemasini yechib, kattaliklarni koordinatalar orqali
ifodalash mumkin. Demak , kattaliklarga Yangi umumlashgan koordinatalar deb
qarash mumkin. Bu koordinatalar odatda normal koordinatalar deyiladi va ular
oddiy tebranishlarni ifodalaydi va quyidagi tenglamalarni qanoatlantiradi:

Lagranj funksiyasi esa bu koordinatalarda quyidagicha yoziladi:

Agar almashtirish o’tkazsak,

Mustaqil ishlash uchun savollar:

1. Ko’p erkinlik darajasiga ega bulgan sistemadagi tebranishlar sistemasi uchun

Lagranj funksiyasi qanday bo’ladi.
2. Harakat tenglamasi va uning yechimini ko’rsating.
3. Normal koordinatalarni tushuntiring.
􀀃