|
17-ma’ruza: NOCHIZIQLI TEBRANISHLAR.
REJA
Adiabatik invariantlar.
Krilov-Bogolyubov uslubi bilan tuzish.
Parametrik rezonans.
Tez tebranib o’zgaruvchi maydondagi harakat.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: chiziqli bo’lmagan tebranishlar, Krilov-Bogolyubov usuli, chiziqli bo’lmagan tebranishlar. parametrik rezonans, yassi mayatnik, bir o’lchamli harakatda Lagranj funksiyasi.
Ko’pgina mexanik sistemalarda harakat chiziqli bo’lmagan tenglamalar yordamida ifodalanadi. Biz o’tgan temada ana shunday tebranishdan – angarmonik tebranishlarni ko’rgan edik. Odatda bunday tenglamalar chiziqli ko’rinishga keltirilganda ularni tekshrish ancha osonlashadi, ammo bu holda chiziqli bo’lmagan tebranishga xos ko’pgina xusisiyatlar yuqolib ketadi shuning uchun bu tenglamani yechishda bir qancha taqribiy usullar taklif qilingan. Shu usullardan biri Krilov-Bogolyubov usulidir. Qisqacha mayatnik usulida chiziqli bo’lmagan tenglamalarni qaraymiz.
Agar tebranish kichik hisoblansa, ni kichik bo’lgani uchun qatorga yoyib
tenglamani
ko’rinishda yozishimiz mumkin. Bu esa chiziqli bo’lmagan ifoda etadi. Krilov-Bogolyubov usuli chiziqli bo’lmagan tayenglamalar ekvivalent chiziqlashtirish usuli hisoblanadi.
Chiziqli bo’lmagan tenglama
+ ) (1)
ko’rinishga ega bo’lsin. Bu yerda ) va larning chiziqli bo’lmagan funksiyasi, – kichik parameter.
Agar bo’lsa (1) tenglama
+ (2)
Chiziqli tenglamaga aylanadi (2) ning yechimi
ko’rinishida beriladi. Bu yerda
U holda
Krilov-Bogolyubov usulining mohiyati shundan iboratki, (1) ning chiziqmastlik darajasi kichik va tebranish garmonik tebranishlarga yaqin deb hisoblanadi. U holda
, ,
bo’ladi. Bu yerda , - vaqtning sekin o’zgaruvchi funksiyasi deb hisoblanadi. U holda chiziqli bo’lmagan tebranishni ifodalovchi (1) tenglama sistemadagi ishqalanish mavjud bo’lganidagi
(3)
Chiziqli tenglamaga ekvivalent boladi . Bu yerda
(4)
(5)
Biz bilar edikki , (3)ning yechimi
, ,
bo’lar edi , (4) da bo’lgani uchun u kichik son bo’ladi va
bo’ladi . U holda
Agar ekanligini hisobga olsak,
Demak (1) tenglamani integrallash (6) va (7) kabi birinchi tartibli differensial tenglamalarni integrallshga keltiriladi.
Misol:
+ ( ) (8)
Tenglamani yechaylik . Bu yerda )= (8) ning yechimini
,
tariqasida axtaramiz.
ekanliginin hisobga olib
integrallarni hisoblaymiz . Ko’rsatish mumkinki,
;
u holda
Biz ekanligini hisobga olsak,
U holda (6), (7) tenglamalar quydagicha yoziladi:
(9)
Chunki bizda n = 0 (9) tenglamalarni integrallaymiz:
(10)
Biz ning qiymatini yechimga qo’yib topamiz:
(11)
Agar bo’lsa
(12)
(13)
Ekanligini topamiz. (13) da , demak yoki u holda (12)dan demak (11) yechim
ko’rinishga ega bo’ladi
Parametrik rezonans
Shunday ochiq sistemalari mavjudki, bu sistemalarda tashqi maydon ta’siri masalasi uning parametrlarining vaqt bo’yicha o’zgarish masalasiga keltiriladi. Bunday sistemalarga osilish nuqtasi vertikal holda davriy tebranib turuvchi yassi mayatnik misol bo’lishi mumkin.
Biz ko’rdikki, bir o’lchamli harakatda Lagranj funksyasi
ko’rinishga ega bo’lar edi va bunday sistema parametrlari bo’lib m, k kattaliklar hisoblanadi. Agar bu parametrlarni vaqt bo’yicha o’zgaradi deb faraz qilsak, harakat tenglamasi quydagicha yoziladi:
(1)
Agar o’zgaruvchi t o’rniga yangi o’zgaruvchi kiritsak, (1) tenglama
ko’rinishga keladi yoki
(2)
umumiy ko’rinishda yoziladi . Bu yerda funksiyaning ko’rinishi masala sharti orqali aniqlanadi. Faraz qilaylikki, bu funksiya biror chastota (shuningdek, davr) bilan aniqlanuvchi davriy funksiya bo’lsin. Demak, bu funksiya uchun
bir qiymatlik sharti bajariladi, ya’ni (2) harakat tenglamasi t → t +T almashtirishga nisbatan invariyant bo’ladi. Bundan agar x(t) (2) tenglamaning yechimi bo’lsa, x(t +T) ham uning yechimi hisoblanadi degan xulosa kelib chiqadi. Boshqacha so’z bilan aytganda agar (t) va lar (2) tenglamaning yechimi bo’lsa , t → t +T almashtirirish o’tkazilganda ular o’zaro chiziqli bog’lanishda bo’ladi. Bu paytda va larni shuday tanlab olish mumkinki t → t +T almashtirishda ular doim sonlargagina o’zgarsin:
Bunday xossalarga ega bo’lgan funksiyalarning umumiy ko’rinishi quydagicha bo’ladi:
(3)
Bu yerda -T davriylik funksiyalar.Agar (2) ni lar uchun yozsak
va ularni mos ravishda larga ko’paytirib ayirsak
bundan
(4)
ekanligini topamiz. Agar (3) ni e’tiborga olsak, (4) dagi aralash ko’paytma koeffisentlarni paydo bo’lishiga va ko’paytmaning doimiy songa teng bo’lishiga kamida
bo’lishiga olib keladi.Bundan
yoki
ekanligi kelib chiqadi. Boshqa tomondan, (3) dan ko’rindiki, funksiya µ ning vaqt bo’yicha darajasi tariqasida vaqt bo’yicha oshib boradi. Demak sistemaning muvozanati (x=0 bo’lgan holat ) turg’un bo’lmay qoladi: muvozanat holatda cheksiz kichik chetlanish darhol vaqt bo’yicha oshib ketuvchi chetlanishga olib keladi. Bu hodisa parametrik rezonans deyiladi. Parametrik rezanans paydo bo’lish sharti bilan tanishaylik ω(t) funksiya ya’ni biror doyimiy kattalikdan ham farq qiluvchi va davriy o’zgaruvchi funksiya bo’lsa:
Bu yerda 0 < h ≤1 bo’lgan kichik kattalik hisoblansin. Agar ω(t) funksiyaning tebranish chastotasi ikkilangan ga yaqin bo’lsa, parametrik rezonans tezroq sodir bo’ladi, ya’ni
,( )
u holda harakat tenglamasi
(5)
yechimni
(6)
ko’rinishda axtarish mumkin. Bu yerda a(t),b(t) lar vaqtning sekin o’zgaruvchi funksiyalari. (6) yechimni (5) ga qo’yib ε ning birinchi yechimi darajasidagi hadlarni saqlab qolamiz. Bu patda, deb hisoblaymiz. Agar
Ekanligini hisobga olsak va chastotalik hadni tashlab yozsak , (5) tenglama o’rnida
tenglamani olamiz. Bu tenglikning bajarilishi uchun sin va cos funksiyalar oldidagi koeffisentlar nolga teng bo’lishi lozim.
Bu chiziqli tenglamalar yechimini (bu yerda S= tariqasida axtaramiz.U holda
algebraik tenglamalarga ega bo’lamiz. Parametrik rezonansning paydo bo’laishi uchun bo’lmog’i kerak, ya’ni
Bundan intervalda parametrik razonans paydo bo’lishini ko’ramiz. Parametrik rezonans shuningdek kuchsiz ishqalanish mavjud bo’lganda ham
paydo bo’lishi mumkin. Ko’rdikki, bu holda tebranish ampilutudasi qonun bilan so’nar edi. Shuning uchun parametrik rezonansda ampilitudaning o’sib borishi qonun asosida bo’ladi va turg’insizlik sohasining chegarasi S − λ = 0 shart bilan aniqlanadi. Rezonans sohasida (6) tengsizlik berilgan holda
ko’rinishda yoziladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
