Reja Kirish Mustaqil shaxsiy qadriyatlar modeli Daromad ekvivalentligi Optimal strategiyalarni aniq qurish Kirish

Optimal strategiyalarni aniq qurish

(8) dan E(x) va (5) dan V (x) bo‘lsa va nj belgisini o‘zgartirmaydi deb faraz qilsak, U(x) = E(x) + lV (x) birikmasi kvadratik funktsiyadir. boshqaruv parametrlari x1,...,xN−1; u l ≥ 0 uchun qat'iy qavariq. Shuning uchun biz uning qisman hosilalarini nolga o'rnatish orqali yagona global minimumni aniqlaymiz. Biz j = 1,...,N − 1 uchun osongina hisoblaymiz. U holda ∂U/∂xj = 0 ga ekvivalent bo‘ladi.

Bilan

E'tibor bering, (16) tenglama chiziqli ayirma tenglamasi bo'lib, uning yechimi eksponensiallar birikmasi sifatida yozilishi mumkin (±ktj), bu erda k qanoatlanadi.

˜ē va ˜k ustidagi tildalar O(t) tuzatishni bildiradi; t → 0 sifatida bizda ˜ķ → ē va ˜k → k mavjud. X0 = X va xN = 0 bilan o'ziga xos yechim bu shaklning savdo traektoriyasidir:

va tegishli savdo ro'yxati

bu erda sinh va kosh giperbolik sinus va kosinus funktsiyalari va . Ushbu echimlar (samarali chegara bo'lmasa ham) mavjud
Ilgari Grinold va Kan (1999) tomonidan qurilgan.
X > 0 bo'lgan har bir j uchun bizda nj > 0 bo'ladi. Shunday qilib, katta boshlang'ich uzun pozitsiyani sotish dasturi uchun yechim k parametri bilan aniqlangan tezlikda o'zining boshlang'ich qiymatidan nolgacha monoton tarzda kamayadi. Masalan, sotish dasturining optimal bajarilishi hech qachon qimmatli qog'ozlarni sotib olishni o'z ichiga olmaydi.
Kichik vaqt qadami t uchun biz taxminiy ifodaga egamiz

Shunday qilib, agar bizning savdo oraliqlarimiz qisqa bo'lsa, k2 asosan o'zgaruvchanlik mahsuloti va bizning xavf-xatarlarga toqat qilmaslikning vaqtinchalik tranzaksiya qiymati parametriga nisbati hisoblanadi.
Ma'lum bir boshlang'ich portfel o'lchami X uchun optimal strategiyaning kutilishi va farqi shundan iborat


k → 0,∞ chegaralarida (10–13) gacha kamayadi.
Biz k koeffitsientining ma'nosini muhokama qilish uchun bir zum to'xtab turamiz. Qo'ng'iroq qilamiz
th = 1/k
savdoning "yarim umri". Yuqoridagi muhokamadan ko'ramizki, k qiymati qanchalik katta bo'lsa va th vaqt qanchalik kichik bo'lsa, savdo ro'yxati shunchalik tez tugaydi. th qiymati aynan portfelni e faktoriga qisqartirish uchun ketadigan vaqt miqdoridir.
th ning ta'rifi ekzogen tarzda belgilangan bajarilish vaqti T ga bog'liq emas; u faqat qimmatli qog'ozlar narxi dinamikasi va bozor ta'sir omillari bilan belgilanadi. Agar tavakkalchilikdan voz kechish l noldan katta bo'lsa, ya'ni treyder xavf-xatarni yoqtirmasa, u holda th cheklangan va T ga bog'liq emas. Shunday qilib, har qanday tashqi vaqt cheklovi (T → ∞) bo'lmasa, treyder baribir vaqt shkalasi bo'yicha o'z pozitsiyasini tugatish. Yarim yemirilish davri th - bu savdoning ichki vaqt shkalasi.
Berilgan T uchun kT = T/th nisbati savdoni qanday omillar cheklashini bildiradi. Agar T À th bo'lsa, savdoning ichki yarimparchalanish davri th o'rnatilgan T vaqtiga nisbatan kichik bo'ladi: bu vaqtinchalik xarajatlar juda kichik bo'lganligi sababli sodir bo'ladi, chunki o'zgaruvchanlik o'ta katta yoki biz xavf-xatardan juda voz kechamiz. Bunday holda, savdoning asosiy qismi T vaqtidan ancha oldin amalga oshiriladi. T vaqt shkalasi bo'yicha ko'rilganda, traektoriya minimal dispersiyali yechimga o'xshaydi (12).
Aksincha, agar T ¿th bo'lsa, u holda savdo juda cheklangan bo'lib, vaqtincha bozor ta'siri xarajatlari ustunlik qiladi. T/th → 0 chegarasida biz minimal xarajat strategiyasiga (9) yaqinlashamiz.
Ushbu tahlilning natijasi shundan iboratki, bir xil qimmatli qog'ozlarning turli o'lchamdagi savatlari bir xil vaqt shkalasida, xavfdan qochish parametri l o'zgarmas bo'lsa, tugatiladi. Bu bizning sezgiimizga zid bo'lib tuyulishi mumkin, chunki katta savatlar samaraliroq kamroq suyuqlikdir va shuning uchun kichik savatlarga qaraganda tezroq yo'q qilinishi kerak. Bu bizning bozorga ta'sir qiladigan chiziqli taxminimizning natijasi bo'lib, u matematik natijaga ega bo'lib, har ikkala farq ham, bozor ta'siri ham portfel hajmiga nisbatan kvadratik ravishda o'zgaradi.
Katta portfellar uchun vaqtinchalik ta'sir xarajatlari funksiyasi yuqori tartibli shartlarga ega deb taxmin qilish oqilonaroq bo'lishi mumkin, shuning uchun bunday xarajatlar savdo hajmi bilan superlinear tarzda oshadi. Chiziqli bo'lmagan ta'sir funktsiyalari bilan bu erda qo'llaniladigan umumiy tizim hali ham amal qiladi, ammo biz chiziqli ta'sir holatida bo'lgani kabi aniq eksponensial echimlarni olmaymiz. Ushbu muammoning oddiy amaliy yechimi ko'rib chiqilayotgan muammoning umumiy hajmiga qarab ē ning (vaqtinchalik ta'sir parametri) turli qiymatlarini tanlash va model eng yaxshi holatda faqat taxminiy ekanligini tan olishdir.
E'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa - ijro strategiyasi l va q ga bog'liq emas. l koeffitsienti savdoning doimiy narx ta'sirini aks ettiradi. Chiziqli shaklni hisobga olgan holda, doimiy narx ta'siri (F0+s/2)X0 + (l/2)X02 bo'lgan ijro xarajatini beradi, bu esa amalga oshirish strategiyalaridan mustaqildir. Oldingi ishlarning aksariyati amalga oshirish strategiyasi va narxini belgilovchi asosiy parametr sifatida l ga e'tibor qaratganligini hisobga olsak, bu juda ajoyib natijadir. Yuqorida ko'rsatganimizdek, savdo vaqtlari ekzogen tarzda belgilangan vaqt oralig'ida o'rnatilganda l ijro strategiyasiga ta'sir qiladi. Savdo vaqtlari optimal tarzda aniqlanganda, l ning ijro strategiyasiga ta'siri yo'qoladi. Narxlarga ta'sir qilish funktsiyasining chiziqli shaklini hisobga olgan holda, l bir lahzali taklif / taklifni yoki statik taklif / taklifni to'liq tavsiflaydi. Bizning tahlilimiz shuni ko'rsatadiki, talab / taklifning statik jihatlari optimal ijro strategiyasini belgilovchi omillarni to'liq qamrab olmaydi.
Koeffitsient q bozorning chuqurligini qamrab oladi. Biz taxmin qilgan chegaraviy buyurtma kitobining oddiy modelida bozor chuqurligi so'ralgan narxdan yuqori bo'lgan barcha narx darajalarida doimiydir. Bunday holda, bozor chuqurligining haqiqiy qiymati optimal ijro strategiyasiga ta'sir qilmaydi. Cheklangan buyurtmalar kitobining umumiy (va, ehtimol, realistik) shakllari uchun optimal bajarish strategiyasi kitobning xususiyatlariga bog'liq bo'lishi mumkin.
Optimal bajarish strategiyasi ikkita parametrga bog'liq, chegara buyurtma kitobining chidamliligi r va bajarish uchun ufq T. Bu bog'liqliklarni alohida ko'rib chiqamiz.

1-rasm: Optimal ijro strategiyasining profillari va so'rov narxi. Panel (a) Xt tomonidan ta'riflanganidek, optimal ijro siyosatining profilini tuzadi. Panel (b) da realizatsiya qilingan so'rov narxi profilini chizadi. Dastlabki diskret savdodan so'ng, so'rov narxining Vt +s/2 barqaror holatidan og'ishini ushlab turish uchun yangi kiruvchi sotish buyurtmalarining doimiy ulushi sifatida doimiy savdolar amalga oshiriladi, (b) panelda kulrang chiziq bilan ko'rsatilgan. doimiy. Buyurtmani bajarish uchun T oxirgi lahzada diskret savdo sodir bo'ladi.
1-rasmning (a) paneli optimal bajarish strategiyasini yoki aniqrog'i bajariladigan qolgan buyurtmaning vaqt yo'lini ko'rsatadi. Shubhasiz, optimal strategiyaning tabiati kichik savdolarning silliq oqimini o'z ichiga olgan adabiyotlarda taklif qilinganlardan farq qiladi. Savdolar vaqti optimal tarzda aniqlanganda, optimal ijro strategiyasi ham katta diskret savdolardan, ham doimiy savdolardan iborat. Xususan, biz bu erda ko'rib chiqayotgan LOB dinamikasi ostida, optimal bajarish boshida diskret savdoni, so'ngra kichik savdolar oqimini va keyin diskret terminal savdosini o'z ichiga oladi. Limit buyurtmalar kitobining dinamikasini hisobga olgan holda, bunday strategiya intuitiv ko'rinadi. Katta boshlang'ich savdo chegara buyurtmalar kitobini o'zining statsionar holatidan uzoqlashtiradi, shunda yangi buyurtmalar jalb qilinadi. Kichik savdolar oqimi bu yangi buyurtmalarni "yeydi" va shu bilan ularning kelishini davom ettiradi. Oxirida diskret savdo buyurtmaning qolgan qismini tugatadi.
Dastlabki savdo hajmi narxlarni va yangi buyurtmalarning intensivligini belgilaydi. Agar juda katta bo'lsa, dastlabki savdo yangi buyurtmalarning o'rtacha narxini oshiradi. Agar juda kichik bo'lsa, dastlabki savdo terminal vaqtidan oldin etarli buyurtmalarni jalb qilmaydi. Ushbu ikki omil o'rtasidagi savdo ko'p jihatdan dastlabki savdo hajmini belgilaydi.
Dastlabki savdodan so'ng doimiy savdolar yangi buyurtmalar oqimini kerakli narxlarda ushlab turish uchun mo'ljallangan. Bu qanday ishlashini ko'rish uchun, keling, optimal ijro strategiyasi ostida so'rash narxi At yo'lini ko'rib chiqaylik. U 2-rasmning (b) panelida tasvirlangan. Dastlabki diskret savdo sotuv narxini A0 = V0+s/2 dan A0+ = V0+s/2+X0/(rT+2)/q gacha oshiradi. Keyinchalik, optimal bajarish strategiyasi Dt = At ​​-Vt -s/2, joriy so'rov narxining At ning barqaror holatidan og'ishi Vt +s/2, doimiy kX0/(rT +2) darajasida ushlab turadi. Binobarin, rDt tomonidan berilgan yangi sotish buyurtmalari oqimi tezligi ham doimiy darajada saqlanadi. At so'rov narxi Vt+s/2 bilan birga qimmatli qog'ozning barqaror "qiymati" bilan birga oshadi, bu 2(b)-rasmdagi kulrang chiziq bilan ko'rsatilgan. Natijada, (29) dan dAt = dVt bilan 0 < t < T uchun biz rDt = kµt yoki µt = (1/k)rDt ga ega bo‘lamiz. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, optimal ijro strategiyasi ostida doimiy buyurtma oqimini ta'minlash uchun yangi sotish buyurtmalarining 1/k doimiy qismi bajariladi.
Yuqoridagi muhokamamiz shuni ko'rsatadiki, r chidamlilik parametri tomonidan qo'lga kiritilgan chegara buyurtma kitobining dinamikasi optimal bajarish strategiyasini aniqlashda asosiy omil hisoblanadi. Ushbu havolani yaxshiroq tushunish uchun r = 0 va ∞ bo'lgan ikkita ekstremal holatni ko'rib chiqaylik. Qachon r = 0, biz savdodan keyin limit buyurtma kitobini tiklay olmaymiz. Bu holda, ijro xarajati mustaqil strategiya bo'ladi va treyder chegara buyurtma kitobini qachon va qanday tezlikda yeyishi muhim emas. Bu natija har qanday N bilan diskret sozlamada va uning uzluksiz vaqt chegarasida ham to'g'ri bo'ladi. r = ∞ bo'lganda, limit buyurtmalar kitobi savdodan so'ng darhol o'zini tiklaydi. 4-bo'limda muhokama qilganimizdek, bu an'anaviy sozlamalarga mos keladi. Shunga qaramay, ijro xarajati strategiyadan mustaqil bo'ladi. Shuni ta'kidlash kerakki, r → 0 yoki ∞ chegarasida, 3-taklifda keltirilgan optimal bajarish strategiyasi sof diskret strategiyaga yoki sof doimiy strategiyaga yaqinlashsa ham, bu ikki holatda degeneratsiyani hisobga olgan holda, boshqa strategiyalar bir xil darajada yaxshi. .
Qachon 0 < r < ∞, chegara buyurtma kitobining chidamliligi cheklangan bo'lsa, optimal strategiya diskret va uzluksiz savdolarning aralashmasidir. Uzluksiz savdolar orqali bajarilgan jami buyurtmaning ulushi +2 ni tashkil qiladi), bu r bilan ortadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, chegara buyurtma kitobi yanada mustahkamroq bo'lsa, kichik savdolardan foydalanish samaraliroq bo'ladi.
Bu intuitiv, chunki diskret savdolar doimiy savdolarga qaraganda yangi buyurtma oqimlaridan to'liq foydalanishda kamroq ishlaydi.
Optimal ijro strategiyasini aniqlashda yana bir muhim parametr - T tartibini bajarish uchun vaqt gorizontidir. 3-taklifdan biz T oshgani sayin, ikkita diskret savdo hajmi kamayib borayotganini ko'ramiz. Ushbu natija intuitivdir. Buyurtmani bajarish uchun qancha ko'p vaqt kerak bo'lsa, biz yangi buyurtmalar oqimidan foyda olish va umumiy xarajatlarni pasaytirish uchun ko'proq doimiy savdo qilishimiz mumkin.