Reja: Funksiyaning nuqtadagi hosilasi. Hosila tushunchasi. Hosilani hisoblash

y=f(x) [a,b] da differensiallanuvchi bo’lsin. Bu har qanday xЄ[a,b] uchun
chekli hosila mavjud ekanligini bildiradi.
deb faraz qilaylik, u holda (1) tenglikdan
bunda Δx → 0 dа α → 0 .
Agar oxirgi tenglikning hamma hadini Δx gа ko’paytirilsa,
(1)
yoki
munosabatga ega bo’lamiz, bunda
dа (2)dagi ikkala qo’shiluvchi nolga intiladi. Ularni Δx bilan taqqoslaymiz:
(2)
Shunday qilib, birinchi qo’shiluvchi
tartibi Δx tartibiga teng bo’lgan cheksiz kichik miqdordir.
Ikkinchi qo’shiluvchi darajasi Δx darajasidan yuqori bo’lgan cheksiz kichik miqdordir. Bundan (2) shu qo’shiluvchiga funksiyaning differentsiali deyiladi.
Funksiyaning differentsiali yoki
Δx x ga bog’liq bo’lmaydi.
(3)
Misol:
y=x differentsialini topamiz
dy = dx
U holda (3) :
Bu formula hosila bilan differentsialni bo’glaydi, shu bilan birga hosila chekli son, differentsial esa cheksiz kichik miqdordir.
(4)
Funksiyaning differentsialini topish masalasi hosilani topishga teng kuchli, chunki hosilani erkli o’zgaruvchi orttirmasiga ko’paytirib, funksiya differentsialiga ega bo’lamiz. Shunday qilib, hosilalarga tegishli teoremalar va formulalarning funksiya differentsiallar uchun ham to’g’ri bo’lib qolaveradi.
Аgar u vа v - differentsiallanuvchi funksiyalar bo’lsa, u holda quyidagi fomulalar o’rinlib:
(4)
(7)
(6)
(5)
Differentsialning geometrik ma’nosi
Egri chizida M(x,y) ni olamiz, shu nuqtada egri chiziqqa urinma o’tkazamiz. Erkli x gа Δx orttirma beramiz, u holda
Bu differentsialning egri chiziqqa х da o’tkazilgan urinmaning ordinatasi orttirmasiga teng ekanligini bildiradi.
Yuqori tartibli hosilalar
y=(x) barcha xϵ [a,b] lar uchun differensialanuvchi bo’lsin. ning qiymatlari, х gа bog’liq, hosila funksiyadir,
1-ta’rif. Berilgan funksiya hosilasidan olingan hosila shu funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi yoki ikkinchi hosila
2-ta’rif. Ikkinchi tartibli hosilasidan olingan hosila uchinchi tartibli hosila yoki uchinchi hosila deyiladi
3-ta’rif. (n-1)- tartibli hosiladan olingan hosila n - tartibli hosila