Reja differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish

TEOREMA 1.Agar lar (1) sistemaning yechimlari bo’lsa, u holda lar ham (1) sistemaning yechimlari bo’ladi.
TEOREMA 2. Agar va lar (1) sistemaning yechimlari bo’lsa, u holda lar ham (1) sistemaning yechimlari bo’ladi.
Faraz etaylik (1) sistemaning xususiy yechimlari
(2)
bo’lsin.
Agar bu xususiy yechimlardan tuzilgan
(3)
determinant nolga teng bo’lmasa, (2) yechimlar sistemasiga, (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi (fes) deyiladi.
TEOREMA 3. Agar berilgan differensial tenglamalar sistemasining koeffisiyentlari ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz bo’lsalar, bu holda sistemaning bu oraliqda aniqlangan fundamental yechimlar sistemasi mavjuddir.
ISBOT. sonlaridann² tasini shunday tanlab olamizki, ulardan tuzilgan determinant nolga teng bo’lmasin, ya’ni
(4)
(1) sistemaning n² ta xususiy yechimlarining shunday tanlab olamizkim, ular da boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsin. Xususiy yechimlar ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardan iborat. (4) ga asosan ulardan tuzilgan determinant nolga teng bo’lmagani uchun, bu xususiy yechimlar (1) sistemasining fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.
TEOREMA 4. Agar ko’rilayotgan oraliqning biror x₀nuqtasida bo’lmasa, u holda oraliqning hamma nuqtalarida bulmaydi .
ISBOT.Teoremani isboti uchun (3) determinantning ustun elementlari bo’yicha hosilani olamiz.
Ma’lumki n-tartibli determinantning hosilasi n–ta n-tartibli determinantlar yig’indisiga teng bo’lib, ularning birinchisida faqat birinchi ustun elementlarining hosilasi olinib, qolgan elementlar uz holiga qoladi, ikkinchi determinantida ikkinchi ustun elementlarining hosilasi olinib, qolgan elementlar uz holiga qoladi va xokazo, ya’ni

bundagi lar o’rniga (1) sistemadan

qiymatlarni keltirib qo’ysak,

bu oxirgi determinant bo’lmaganda u nolga teng bo’lib, i=j bo’lganda ga teng bo’ladi.

Bundan

buni har ikkala tomonini [x₀,x] oraliqda integrallasak

yoki
(5)
Bundan ko’rinadikim, agar bo’lmasa, u holda bo’lmaydi.
(5) ga sistema uchun Ostrogradskiy-Liuvill formulasi deyiladi.