Reja: Boshlangʻich funksya va aniqmas integral Bevosita inyegrallash

Reja:

1.Boshlangʻich funksya va aniqmas integral

2.Bevosita inyegrallash
3.Aniqmas integralda oʻzgaruvchilarni almashtrish va boʻlaklab integrallash
4.Ratsional funksyalarni integrallash
5.Triganometrik funksyalar qatnashadigan ifodalarni integrallash
6.Aniq integral
7.Nuyuton leybnis formulasi
8.Oʻzgaruvchilarni almashtrish va boʻlaklash usullari

Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integralning

ta’rifi, xossalari. Aniqmas integral jadvali.
Integrallash qoidalari: o’zgaruvchini almashtirish va bo’laklab integrallash
ANIQMAS INTЕGRALNI HISOBLASH USULLARI. KVADRAT UCHHADLI AYRIM INTEGRALLARNI
HISOBLASH

 Yoyish usuli.  Diffеrеnsial belgisi ostiga kiritish usuli.  O‘zgaruvchilarni almashtirish usuli.

 Bo‘laklab integrallash usuli.  Kvadrat uchhadli integrallarni hisoblash. Oldingi boblarda differensiallanuvchi har qanday elementar funksiyaning hosilasini
hosilalar jadvali va differensiallash qoidalari yordamida topish mumkin ekanligini ko‘rib o‘tgan
edik. Bunda elementar funksiyaning hosilasi yana elementar funksiyadan iborat bo‘ladi. Endi
berilgan funksiyani integrallash masalasiga kelsak, vaziyat ancha murakkab bo‘ladi. Bundaberilgan
elementar funksiya uchun boshlang‘ich funksiya (aniqmas integral) mavjudligini aniqlash bir
masala bo‘lib (bu masala yechimi keyinroq keltiriladi), integral mavjudligi ma’lum taqdirda uni
hisoblash ancha qiyin muammo bo‘ladi. Bundan tashqari bir qator elementar funksiyalarning
aniqmas integrali elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Masalan,
dx xx x x I x
dx I e dx I x dx I x sin ( 0, 1) , ln , cos , 3 41 22kabi integrallar mavjud, ammo elementar funksiya bo‘lmaydi. Bu integrallar bilan aniqlanadigan
funksiyalar maxsus funksiyalar deb ataladi va ular turli amaliy masalalarni yechishda qo‘llaniladi.
Masalan, I1 orqali aniqlanadigan maxsus funksiya Puasson (farang olimi, 1781 - 1840) integrali deb
ataladi va ehtimolliklar nazariyasida, diffuziya va issiqlik o‘tkazish masalasini o‘rganishda keng
qo‘llaniladi. I2 Frenel (farang fizigi va matematigi, 1788 - 1827) integrali deyiladi va optika
Inmasalalarini yechishda juda ko‘p qo‘llaniladi. I3 va I4 mos ravishda integral logarifm va integral
sinus deb ataladi.

Shunday qilib, aniqmas integralni hisoblashning umumiy usuli mavjud bo‘lmasdan, har

bir integral o‘ziga xos bir usulda topilishi mumkin. Ammo ma’lum bir hollar uchun integralni
hisoblash usullari ishlab chiqilgan va ular bilan tanishishga o‘tamiz. 2.1. Yoyish usuli. Bu usulda dastlab berilgan integral ostidagi murakkabroq f(x) funksiya soddaroq (masalan, integrallari bevosita jadval orqali topiladigan) fk(x) (k=1,2,…,n) funksiyalarning
chiziqli kombinatsiyasiga yoyiladi. So‘ngra bu chiziqli yoyilma integrali oldingi paragrafda
ko‘rilgan integralning chiziqlilik xossalaridan foydalanilib hisoblanadi. Bu usulni matematik
ko‘rinishda quyidagicha ifodalash mumkin:
     f x dx  A f x  A f x   A f x dx  A f x dx A f x dx   A f x dx n n n n ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2  1 1 2 2 
ratsional funksiyalarni integrallash.

Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ba’zi

integrallarni integrallash

AYRIM IRRATSIONAL VA TRIGONOMETRIK IFODALI INTЕGRALLAR

 Irratsional funksiyalarni integrallash.  Eyler almashtirmalari. Trigonometrik ifodali integrallar.
Oldingi paragrafda har qanday R(x) ratsional kasr elementar funksiyalarda integrallanuvchi
ekanligini va bu integralni hisoblash usullarini ko‘rib o‘tdik. Shu sababli berilgan biror
funksiyaning aniqmas integrali u yoki bu yo‘l bilan biror ratsional kasrdan olingan integralga
keltirilsa, unda bu integral hisoblandi deb olish mumkin. Bu paragrafda mana shunday
funksiyalarning ayrim sinflari bilan tanishamiz.
4.1. Irratsional funksiyalarni integrallash. Agar y=f(x) funksiya x argumentning kasr
darajalari ishtirok etgan algebraik ifodadan iborat bo‘lsa, uni irratsional funksiya deb ataymiz.
Aniq integralga keltiriluvchi masalalar. Aniq

integralning ta’rifi va uning asosiy xossalari.

Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralda

o’zgaruvchini almashtirish. Bo’laklab integrallash

ANIQ INTЕGRAL VA UNING XOSSALARI

 Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar.

 Aniq integralning ta’rifi va mavjudlik sharti.

 Aniq integralning xossalari.

5.1. Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar. Bir qator matematik, fizik,

mexanik va iqtisodiy masalalarni yechish uchun aniq integral tushunchasi juda katta ahamiyatga

ega. Bu tushunchani kiritishdan oldin unga olib keladigan ayrim masalalarni qaraymiz.

Egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash masalasi. Turli geometrik shakllarning

yuzalarini topish masalasi matematikaning eng qadimgi masalalaridan biri bo‘lib hisoblanadi.

Qadimgi Vavilon va Misrda ko‘pburchaklarning yuzalarini hisoblay olganlar. Buyuk yunon olimi

Arximed (miloddan oldingi 287-212 y.) parabola segmentining yuzasini hisoblashni bilgan.O‘rta

Osiyolik yurtdoshlarimiz Beruniy va Al-Xorazmiy doira va doiraviy sektor yuzalarini topa olganlar.

Ammo bu geometrik shaklarning yuzalari o‘ziga xos usullarda aniqlangan bo‘lib, ixtiyoriy

geometrik shaklning yuzasini hisoblashga imkon beradigan umumiy usul ma’lum emas edi.

Differensial va integral hisob yaratilgach bu masala geometrik shakllarning nisbatan keng sinfi

uchun o‘z yechimini topdi.

1-TA’RIF: Berilgan у=(х) uzluksiz funksiya grafigi, х=а va х=b vertikal to‘g‘ri chiziqlar

hamda OX o‘qi bilan chegaralangan geometrik shakl egri chiziqli trapetsiya dеb ataladi.

O‘zgaruvchini almashtirish usuli. Ushbu f(x)dx integralni hisoblash talab qilinsin. Integralda o‘zgaruvchini almashtirish usulining mohiyati shundan iboratki, unda integrallash o‘zgaruvchisi x ni biror x=(t) formula yordamida t o‘zgaruvchi bilan almashtiriladi. Bunda '(t) uzluksiz va x=(t) ga nisbatan teskari funksiya t= -1 (x) mavjud deb faraz qilinadi. Endi

x=(t), dx='(t)dt

ifodalarni f(x)dx ga qo‘yamiz:

f(x)dx=f((t))'(t)dt (1.5)

Bu yerda (t) ni shunday tanlash kerakki, o‘ng tomondagi integral soddaroq bo‘lsin. Agar f((t))'(t) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biri F(t) bo‘lsa,
f(x)dx= f((t))’(t)dt=F(t)+C=F(-1(x))+C
kelib chiqadi.

(1.5) formula aniqmas integralda o‘zgaruvchini almashtirish formulasi deb ataladi.

Ba’zi hollarda yangi o‘zgaruvchini t=(x) formula orqali kiritish foydadan holi emas.
misol. ni hisoblang.

Yechish. ex-1=t2 almashtirish kiritamiz. U holda ex=t2+1, x=ln(t2+1), dx= va bo‘ladi.

misol. ni hisoblang.

Yechish. t=sinx, dt=cosxdx almashtirishni kiritamiz. Bu holda

bo‘ladi.
O‘zgaruvchini almashtirish usulidan foydalanib aniqmas integralni hisoblashda almashtirishni qulay tanlab olish muhim hisoblanadi. Ixtiyoriy integralni hisoblashda o‘zgaruvchini almashtirishning umumiy qoidasi yo‘q. Bunday qoidalarni ba’zi funksiyalar (trigonometrik, irratsional va boshq.) sinflari uchun keltirish mumkin.

Ko‘p hollarda integrallarni hisoblashda integral ostidagi funksiyani differensial belgisi ostiga “kiritish” usulidan foydalanadi. Funksiya differensialining ta’rifiga ko‘ra '(x)dx=d((x)). Bu tenglikning chap tomonidan o‘ng tomoniga o‘tish (hosil qilish) ’(x) ko‘paytuvchini differensial belgisi ostiga “kiritish” deb aytiladi

Aytaylik ushbu
ko‘rinishdagi integralni hisoblash talab qilinsin. Bu integralda '(x) ko‘paytuvchini differensialbelgisi ostiga kiritamiz va so‘ngra (x)=u almashtirish bajaramiz. U holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
misol. I= integralni hisoblang.
Yechish. xdx= ekanligidan foydalanamiz, u holda
I bo‘ladi.
Agar integral ostidagi funksiya '(x)/(x) ko‘rinishda bo‘lsa, u holda '(x) ko‘paytuvchini differensial belgisi ostiga kiritish orqali uni jadvaldagi integralga keltirish mumkin:
Ko’p o’zgaruvchili funksiya, uniing aniqlanish

sohasi, limiti va uzluksizligi. Xususiy hosilalar.

To’la differentsial. Ko’p zgaruvchili murakkab

funksiyaning hosilasi. Yuqori tartibli xususiy

hosilalar va to’la differentsiallar.

BIR NECHA O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR TA’RIFI, LIMITI VA UZLUKSIZLIGI

REJA

 Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya tushunchasiga olib keluvchi masalalar.

 Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar va ular bilan bog‘liq tushunchalar.

 Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning limiti.

 Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi.

 Ikki o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari.

Tayanch iboralar

* Skalyar ko‘paytma * Evklid fazosi * Masofa * Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya * Aniqlanish sohasi *

Qiymatlar sohasi * Funksiya grafigi * Sirt tenglamasi * Sath chizig‘i * Funksiya limiti * Takroriy limit *

Funksiya uzluksizligi * Funksiyaning argument bo‘yicha uzluksizligi * Ichki nuqta * Chegaraviy nuqta

* Ochiq soha * Yopiq soha * Veyershtrass teoremasi * Chegaralangan funksiya * Bog‘lamli soha *

Boltsano-Koshi teoremasi * Funksiyaning uzlukliligi

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya tushunchasiga olib keluvchi masalalar. Biz y=f(x) ko‘rinishdagi bir

o‘zgaruvchili funksiyalar bilan tanishgan va ularni o‘rgangan edik. Bunda ikkita x va y o‘zgaruvchilar

orasidagi bog‘lanish qaralib, bitta erkli o‘zgaruvchi (argument) x qiymatlari bo‘yicha ikkinchi y erksiz

o‘zgaruvchi (funksiya) qiymatlari to‘liq aniqlanar edi. Masalan, kvadratning yuzini ifodalovchi S funksiya

uning tomoni x orqali S=x2

, kubning hajmi V uning qirrasi x orqali V=x3

ko‘rinishda to‘liq aniqlanadi. Ko‘rib

o‘tilgan talab p=f(q) va taklif p=g(q) funksiyalarida mahsulot hajmini ifodalovchi bitta q o‘zgaruvchini

(omilni) p mahsulot narxiga ta’siri qaralgan edi.

Ammo bir qator amaliy masalalarni o‘rganishda ikkitadan ortiq o‘zgaruvchilar orasidagi shunday

bog‘lanishlarni qarashga to‘g‘ri keladiki, ulardan birining qiymatlari qolganlarining qiymatlari orqali to‘liq

aniqlanadi.

Masalan, matematikada turli to‘g‘ri to‘rtburchaklarning yuzi S uning tomonlarini ifodalovchi ikkita

erkli x va y o‘zgaruvchilar orqali S=xy , to‘g‘ri burchakli parallelepipedning hajmi V uning qirralarini

ifodalovchi uchta x, y va z erkli o‘zgaruvchilar yordamida V=xyz ko‘rinishda aniqlanadi.

Fizikada jismning turli nuqtalardagi zichligi ρ=ρ(x,y,z), harorati T=T(x,y,z) va shu kabi kattaliklar bu

nuqtaning vaziyatini ifodalovchi uchta erkli x, y, z koordinatalar orqali aniqlanadi. Bunga qo‘shimchageometrik va mexanik ma’nosi. Ikki va uch o’lchovli

integralni hisoblash. Ikki va uch karrali integralda

o’zgaruvchilarni almashtirish.

Ikki o’lchovli integralni qutb koordinatalar sistemasida

hisoblash. Ikki va uch o’lchovli integrallarning

geometriya va mexanikaga tadbiqi.

IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING EKSTRЕMUMLARI

REJA

 Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari.

 Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstrеmumlari.

 Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning global ekstremumlari.

 Eng kichik kvadratlar usuli.

Tayanch iboralar

* Lokal maksimum * Lokal minimum * Lokal ekstremum * Ferma teoremasi

* Kritik nuqta * Ekstremumning yetarli sharti * Ekstremumga tekshirish algoritmi

*Bog‘lanish tenglamasi * Shartli lokal maxsimum * Shartli lokal minimum

* Shartli lokal ekstremum * Lagrang funksiyasi * Global maksimum * Global minimum * Global

ekstremum * Kuzatuv natijalarini silliqlash * Empirik formulalar * Eng kichik kvadratlar usuli

3.3. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari. Berilgan z=f (x,y) funksiya

tekislikdagi biror D sohada aniqlangan bo‘lib, M0(x0, y0) bu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin.

1-TA’RIF: Agar M0(x0, y0) nuqtaning biror Ur(x0, y0) atrofiga tegishli ixtiyoriy M(х,у) nuqta uchun

f (x0, y0)≥ f (x,y) [f (x0, y0)≤ f (x,y)] (1)

tengsizlik bajarilsa, unda z=f (x,y) funksiya M0(x0, y0) nuqtada lokal maksimumga (minimumga) ega

deyiladi.

Masalan, f(x,y)=4–x2

–y2

funksiya M0(0,0) nuqtada lokal maksimumga ega, chunki bu nuqtaning

ixtiyoriy atrofidagi M(х,у) nuqtalar uchun f(x,y)≥4=f(0,0). Xuddi shunday g(x,y)=4+x2

+y2

funksiya M0(0,0)

nuqtada g(0,0)=4 lokal minimumga ega ekanligi ko‘rsatiladi.

1-ta’rifda f (x0, y0)≥ f (x,y) [f (x0, y0)≤ f (x,y)] tengsizlik faqat M0(x0, y0) nuqtaning biror kichik atrofida

bajarilishi talab etiladi. Bu tengsizlik, biz yuqorida ko‘rgan misoldagi singari, M0(x0, y0) nuqtaning ixtiyoriy

atrofida o‘rinli bo‘lishi shart emas. Shu sababli f(x0, y0) lokal maksimum yoki minimum deb atalmoqda.

Agar (1) tengsizlikda x=x0+∆x va y=y0+∆y deb olsak, uni lokal maksimum holida

f (x0 , y0 )  f (x0  x, y0  y)  f (x0  x, y0  y)  f (x0 , y0 )  0  f  0 ,

lokal minimum holida esa ∆f ≥0 ko‘rinishda yozish mumkin. Shu sababli 1-ta’rifni funksiyaning to‘la

orttirmasi orqali quyidagicha ifodalash mumkin.

2-TA’RIF: Agar M0(x0, y0) nuqtaning biror Ur(x0, y0) atrofida z=f (x,y)

funksiyaning to‘la orttirmasi uchun ∆f(x0, y0) ≤0 (∆f(x0, y0) ≥0) tengsizlik bajarilsa, unda bu funksiya M0(x0,

y0) nuqtada lokal maksimumga (minimumga) ega deyiladi.

3-TA’RIF: Funksiyaning lokal maksimum va minimumlari birgalikda funksiyaning lokal

ekstrеmumlari deyiladi.

2-ta’rifga asosan funksiya M0(x0, y0) nuqtada lokal ekstremumga ega bo‘lishi uchun uning bu nuqtadagi

∆f(x0, y0) to‘la orttirmasi ∆x va ∆y argument orttimalarining turli kichik qiymatlarida o‘z ishorasini

o‘zgartirmasligi lozim.

Yuqoridagi misolda ko‘rib o‘tilgan f(x,y)=4–x2–y2 va g(x,y)=4+x2+y2 funksiyalar uchun lokal
ekstremumlar f(x,y) va g(x,y) ifodalari bo‘yicha bevosita topildi. Ammo murakkabroq ko‘rinishdagi
funksiyalar uchun bunday qilib bo‘lmaydi. Shu sababli umumiy holda ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal
ekstrimumlarini topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin (VI
bob,§5) ko‘rilgan edi. Bu yerda z=f (x,y) funksiyani ekstremumga tekshirish ham shunga o‘xshash amalgaoshirilishini ko‘ramiz.
1-TEOREMA(Ferma teoremasi): Agar z=f(x,y) funksiya M0(x0,y0) nuqtada lokal ekstrеmumga
erishsa va bu nuqtada uning ikkala xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, unda ular nolga tеng bo‘ladi, ya’n. XULOSA
Sonli ketma-ketlik hadlarini birin-ketin qo‘shib borishdan hosil bo‘ladigan
yig‘indilarning limiti sonli qator bo‘ladi. Bu limit chekli sondan iborat bo‘lsa qator
yaqinlashuvchi va limit qiymati uning yig‘indisi deyiladi. Aks holda bu qator
uzoqlashuvchi deyiladi. Sonli qatorlarning chekli sondagi hadlarini tashlab
yuborilganda uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi o‘zgarmay qoladi.
Yaqinlashuvchi sonli qatorlarni o‘zgarmas songa ko‘paytirish yoki qo‘shish
natijasida yana yaqinlashuvchi qator hosil bo‘ladi. Sonli qator yaqinlashuvining
zaruriy sharti–uning umumiy hadining limiti nol bo‘lishidan iboratdir. Ammo
garmonik qator misolida bu shart qator yaqinlashuvi uchun yetarli emasligi ko‘rinadi.
Tayanch iboralar * Sonli qator * Sonli qator hadlari * n-xususiy yig‘indi * Yaqinlashuvchi
(uzoqlashuvchi) sonli qator * Sonli qator yig‘indisi * Qator yaqinlashuvining
zaruriy sharti * Garmonik qator
Takrorlash uchun savollar
1. Sonli qator deyilganda nima tushuniladi?
2. Sonli qator hadlari nima?
3. Sonli qatorning umumiy hadi deb nimaga aytiladi?
4. Sonli qatorning n-xususiy yig‘indisi qanday aniqlanadi?
5. Qachon sonli qator yaqinlashuvchi deyiladi?
6. Yaqinlashuvchi sonli qator yig‘indisi qanday aniqlanadi?
7. Qachon sonli qator uzoqlashuvchi deyiladi?
8. Sonli qatorlarning algebraik yig‘indisi qanday aniqlanadi?
9. Yaqinlashuvchi sonli qatorlarning algebraik yig‘indisi haqida nima deyish mumkin?