Режа. 10. Сонли қатор тушунчаси. 20. Яқинлашувчи қаторларнинг хоссалари

3⁰. Қаторнинг яқинлашувчилиги. Коши теоремаси.
Фараз қилайлик,

қатор берилган бўлсин. Маълумки, бу қаторнинг яқинлашув-чилиги ушбу

кетма-кетликнинг да чекли лимитга эга бўлишидан иборат.
9-маърузада сонлар кетма-кетлигининг чекли лимитга эга бўлиши ҳақида Коши теоремаси, яъни кетма-кетликнинг да чекли лимитга эга бўлиши учун
да
тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли экани келти-рилган эди.
Бу тушунча ва тасдиқдан қатор яқинлашувчилигини ифодалайдиган қуйидаги теорема келиб чиқади.
Теорема (Коши теоремаси). қатор яқинлашувчи бўлиши учун сон олинганда ҳам шундай топилиб, ва бўлганда
(5)
тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Эслатма. Агар қатор учун (5) шарт бажарилмаса, яъни

(6)
бўлса, у ҳолда қатор узоқлашувчи бўлади.
5-мисол. Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ Бу қатор учун Коши теоремасидаги (5) шартнинг бажарилишини текширамиз :


Агар сонга кўра деб олинса, у ҳолда ва лар учун

бўлади. Демак, берилган қатор яқинлашувчи. ►
6-мисол. Ушбу
(7)
қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ ва ихтиёрий учун бўлганда

бўлади.
(6) шартга кўра (7) қатор узоқлашувчи бўлади. ►
Одатда, (7) қатор гармоник қатор дейилади. Демак, гармоник қатор узоқлашувчи қатор.


Машқлар

1. 
   Ушбу
   

қаторнинг яқинлашувчилиги исботлансин, йиғиндиси топилсин.

2. 
   Агар
   

қатор яқинлашувчи бўлса, у ҳолда

қаторнинг ҳам яқинлашувчи бўлиши исботлансин.