Режа. 10. Сонли қатор тушунчаси. 20. Яқинлашувчи қаторларнинг хоссалари

2⁰. Яқинлашувчи қаторларнинг хоссалари. Айтайлик, бирор
(1)
қатор берилган бўлсин.
Ушбу
(2)
қатор (бунда тайинланган натурал сон) (1) қаторнинг қолдиғи дейилади.
1-хосса. Агар (1) қатор яқинлашувчи бўлса, (2) қатор ҳам яқинлашувчи бўлади ва аксинча; (2) қаторнинг яқинла-шувчи бўлишидан (1) қаторнинг яқинлашувчилиги келиб чиқади.
◄ (1) қаторнинг қисмий йиғиндиси

(2) қаторнинг қисмий йиғиндиси

лар учун
(3)
бўлади.
Айтайлик, (1) қатор яқинлашувчи бўлсин. Унда да чекли лимитга эга бўлиб, (3) муносабатга кўра да ҳам чекли лимитга эга бўлади. Демак, (2) қатор яқинлашувчи.
Айтайлик, (2) қатор яқинлашувчи бўлсин. Унда да чекли лимитга эга бўлади. Яна (3) муносабатга кўра да ҳам чекли лимитга эга бўлади. Демак, (1) қатор яқинлашувчи. ►
2-хосса. Агар

қатор яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси га тенг бўлса, у ҳолда

қатор ҳам яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси га тенг бўлади, бунда бўлган ўзгармас сон.
3-хосса. Агар
,

қаторлар яқинлашувчи бўлиб, уларнинг йиғиндиси мос равишда ва га тенг бўлса, у ҳолда

қатор ҳам яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси га тенг бўлади.
2) ва 3)- хоссаларнинг исботи сонли қаторлар ва уларнинг яқинлашувчилиги таърифидан бевосита келиб чиқади.
4-хосса. Агар

қатор яқинлашувчи бўлса, да нолга интилади:

◄ Айтайлик, қатор яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси га тенг бўлсин: Таърифга биноан
.
Равшанки,

бўлади. Кейинги тенгликдан топамиз:
. ►
Эслатма. Қаторнинг умумий ҳади нинг да нолга интилишидан унинг яқинлашувчи бўлиши ҳар доим келиб чиқавермайди. Масалан, ушбу

қаторнинг умумий ҳади бўлиб, у да нолга интилади. Аммо бу қатор узоқлашувчи , чунки

кетма-кетлик да га интилади:
.
Юқорида келтирилган 4)- хосса қатор яқинлашувчи бўлишининг зарурий шартини ифодалайди.
5-хосса. Айтайлик,
(1)
қатор берилган бўлсин. Бу қаторнинг ҳадларини гурухлаб қуйидаги
(4)
қаторни ҳосил қиламиз, бунда

бўлиб, кетма-кетлик натурал сонлар кетма-кетлиги нинг қисмий кетма-кетлиги.
Агар (1) қатор яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси га тенг бўлса, у ҳолда (4) қатор ҳам яқинлашувчи ва йиғиндиси бўлади.
◄ (1) қатор яқинлашувчи бўлиб, йигиндиси га тенг бўлсин. У ҳолда
да
бўлади.
Айтайлик, (4) қаторнинг қисмий йиғиндиларидан иборат кетма-кетлик бўлсин Равшанки, бу кетма-кетлик кетма-кетликнинг қисмий кетма-кетлиги бўлади. Маълум теоремага кўра
да
бўлади. Демак, (4) қатор яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси га тенг. ►