Режа. 10. Сонли қатор тушунчаси. 20. Яқинлашувчи қаторларнинг хоссалари

Сонли қаторлар ва уларнинг яқинлашувчилиги. Яқинлашувчи қаторнинг хоссалари. Коши теоремаси.
Режа.
1⁰. Сонли қатор тушунчаси.
2⁰. Яқинлашувчи қаторларнинг хоссалари.
3⁰. Қаторнинг яқинлашувчилиги. Коши теоремаси.

1⁰. Сонли қатор тушунчаси. Фараз қилайлик,

ҳақиқий сонлар кетма-кетлиги берилган бўлсин. Улар ёрда-мида ушбу
(1)
ифодани ҳосил қиламиз. (1) ифода сонли қатор, қисқача қатор дейилади ва у каби белгиланади:

Бунда сонлар қаторнинг ҳадлари, эса қаторнинг умумий ҳади (ёки -ҳади) дейилади.
Қуйидаги

йиғинди (1) қаторнинг -қисмий йиғиндиси дейилади.
Демак, (1) қатор берилганда ҳар доим бу қаторнинг қисмий йиғиндиларидан иборат ушбу

кетма-кетликни ҳосил қилиш мумкин.
Масалан,

қаторнинг қисмий йиғиндиси



бўлиб, улардан тузилган кетма-кетлик

бўлади.
1-таъриф. Агар да кетма-кетлик га яқинлашса, (1) қатор яқинлашувчи дейилади, унинг йиғин-диси дейилади:
.
Агар кетма-кетлик чекли лимитга эга бўлмаса (лимит мавжуд бўлмаса ёки чексиз бўлса), (1) қатор узоқлашувчи дейилади.
1-мисол. Ушбу

қатор учун бўлиб,

бўлади. Демак, берилган қатор яқинлашувчи ва унинг йиғин-диси 1 га тенг:

2-мисол. Қуйидаги

қатор узоқлашувчи бўлади, чунки

учун

3-мисол. Ушбу

қатор учун

бўлиб у да лимитга эга эмас.
Демак, берилган қатор узоқлашувчи.


4-мисол. Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ Одатда, бу геометрик қатор деб юритилади.
Берилган қатор учун

бўлиб, бўлганда

бўлади. Демак, бу ҳолда геометрик қатор яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси га тенг .
Агар бўлса,

бўлса,

бўлиб, бу ҳолларда берилган қатор узоқлашувчи бўлади.
бўлганда эса кетма-кетлик лимитга эга эмас. Демак, бу ҳолда ҳам қатор узоқлашувчи бўлади.
Шундай қилиб, геометрик қатор бўлганда яқинла-шувчи, бўлганда узоқлашувчи бўлади. ►