Reja : Kirish. I bob. Vektor fazolar

1.2-§. Chiziqli nomalangan fazolar.

Chiziqli fazolarda elementlarning bir-biriga yaqinligi degan tushuncha yo‘q. Ko‘plab amaliy masalalarni hal qilishda elementlarni qo‘shish va ularni songa ko‘-paytirish amallaridan tashqari, elementlar orasidagi masofa, ularning yaqinligi tushunchasini kiritishga to‘g‘ri keladi. Bu bizni normalangan chiziqli fazo tushun-chasiga olib keladi. Normalangan fazolar nazariyasi S.Banax va boshqa matema-tiklar tomonidan rivojlantirilgan.

2.1-ta’rif. Bizga L - chiziqli fazo va unda aniqlangan haqiqiy qiymatli p funksional berilgan bo‘lsin. Agar p quyidagi uchta shartni qanoatlantirsa, unga nor-ma deyiladi:

2.2-ta'rif. Norma kiritilgan L chiziqli fazoga chiziqli normalangan fazo de-yiladi va x L elementning normasi orqali belgilanadi.

Agar L - normalangan fazoda x, yL elementlar jufti uchun

sonni mos qo‘ysak,  funksional metrikaning 1-3 aksiomalarini qanoatlantiradi. Metrika aksiomalarining bajarilishi normaning 1-3 shartlaridan bevosita kelib chi-qadi. Demak, har qanday chiziqli normalangan fazoni metrik fazo sifatida qarash mumkin. Shu sababli, metrik fazolarda o‘rinli bo‘lgan barcha tasdiqlar (ma'lumot-lar) chiziqli normalangan fazolarda ham o‘rinli.

2.1-misol. Ushbu funksiya R da norma shartlarini qanoatlan ti-radimi?

Bu funksiya normaning musbat bir jinslilik shartini qanoatlantirmaydi, chunki norma ta’rifidagi 2-shart bajarilmaydi. Masalan, sonlari uchun

va

bo‘lganligi sababli tenglik o‘rinli emas.

2.2-misol. L  R - haqiqiy sonlar to‘plami bo’lsin. Agar ixtiyoriy x R soni uchun | |x||=|x| sonni mos qo‘ysak, R normalangan fazoga aylanadi.

LC - kompleks sonlar to‘plami bo’lsin. Bu yerda ham norma yuqoridagidek kiritiladi: | |z||=|z|

2.3-misol. o‘lchamli haqiqiy chiziqli fazo. Bu fazoda

funksionallar norma shartlarini qanoatlantiradi. chiziqli fazoda norma kiritil-gan bo‘lsa, uni agar norma kiritilgan bo‘lsa uni deb belgilaymiz.

2.4-misol. o‘lchamli kompleks chiziqli fazo. Bu fazoda

funksional norma shartlarini qanoatlantiradi.

2.5-misol. L  C[a,b]  [a,b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazo-si. Bu fazoda f C[a,b] elementning normasi

tenglik bilan aniqlanadi. Agar C[a,b] chiziqli fazoda norma

formula vositasida kiritilgan bo‘lsa, uni agar norma

tenglik orqali kiritilgan bo‘lsa uni deb belgilaymiz.

2.6-misol. fazoda x elementning normasi quyidagicha kiritiladi: