Реферат «Полное исследование функции и построение её графика»

РЕФЕРАТ
«Полное исследование функции и построение её графика».


ВВЕДЕНИЕ

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело с более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.
Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

1. 
   Возрастание и убывание функции
   

Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами.

Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа.
Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.).
Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.
Рассмотрим, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. Исходя из определения монотонно убывающей и возрастающей функции, можно сформулировать теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.
Теорема 1.1. Если функция y = f(x), дифференцируемая на интервале (a,b), монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке
(x ) >0; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала (x)<0.
Доказательство. Пусть функция y = f(x) монотонно возрастает на (a,b), значит, для любого достаточно малого > 0 выполняется неравенство:
f (x- ) < f (x) < f (x+ ) (рис. 1.1).



Рис. 1.1
Рассмотрим предел
.
Если > 0, то > 0, если < 0, то
< 0.
В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть (x )>0, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.
Теорема 1.2. Если функция y = f(x), непрерывна на отрезке [a,b]и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того, (x ) >0 для любого x ϵ (a,b), то данная функция монотонно возрастает на (a,b); если
(x ) <0 для любого xϵ (a,b), то данная функция монотонно убывает на (a,b).
Доказательство. Возьмем ϵ (a,b) и ϵ (a,b), причем < . По теореме Лагранжа
(c) = .
Но (c)>0 и > 0, значит, ( > 0, то есть
( . Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

2.