Referat mavzu: Kichik kvadratlar usuli. Regressiya tenglamalarini qurish tayyorladi: muzaffarov nuriddin

4.2. CHiziqli regressiya usuli

Qandaydir texnologik jarayonning (4.2-rasm) matematik ifodasini tuzish kerak bo‘lsin.

Х	Технологик	У	4.2-расм.Технологик жараённи

жараён	параметрик схемаси.

Bunday texnologik jarayonni chiqish (U) va kirish (X) parametrlari orasida funksional bog‘liqlik U = f (X) mavjud bo‘lib, (U) ni o‘zgarishi (X) qiymatini o‘zgarishiga bog‘liq tarzda o‘zgaradi. Masalan, bug kamerasidagi ishchi bosim qiymatlarini o‘zgarishiga monand holda qurilmadagi suyuqlikni qaynash harorati ham o‘zgarib boradi.

Agar bu bog‘liklikning matematik ifodasini ma’lum qonuniyatlar orqali analitik tarzda ifodalash mumkin bo‘lmasa, u holda tajribaviy-statistik modellashtirish usulidan foydalaniladi. Buning uchun dastlab tajriba o‘tkaziladi. Kirish parametri (X) qiymatini o‘zgartira borib, chiqish parametri (U) qiymatlari aniqlanadi. Bu qiymatlar koordinatalar sistemasiga quyib chikilib, tajriba nuqtalari birlashtiriladi va regresssiya

«egri» chizig‘i quriladi (3.3- rasm). Regressiya egri chizig‘i turlicha ko‘rinishda (masalan, tug‘ri chiziq, parabola yoki boshqa shaklda) bo‘lishi mumkin.

25. 
    У=К*Х
    

4.3- расм. Регрессия эгри чизиғини тажриба натижалари асосида кўриш схемаси.

x
Regressiya egri chizig‘i ko‘rinishiga qarab bog‘liqlik tenglamasi tanlanadi (masalan, U = kX - koordinata boshidan o‘tgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi). Bu tenglama koeffitsientini topish uchun «eng kichik kvadratlar usuli» qo‘llaniladi. Ushbu usulga binoan, hisobiy nuqtalarni tajribaviy nuqtalardan chetlashishi minimal bo‘lishi kerak, ya’ni

n

i 1
(u_ti - u_xi)²  min ,
(4-9)

bu erda N- tajribalar soni; u_ti – kirish parametri X_i qiymatiga mos keladigan chiqish parametrining tajribaviy qiymati; u_xi – kirish parametrining X qiymatiga mos kelgan chiqish parametrining U hisobiy qiymati.

Agar regressiya «egri» chizigi koordinata boshidan utuvchi tug‘ri chiziqqa yaqin bo‘lsa, u holda uni u = kx tenglama yordamida ifodalash mumkin. Bu tenglamani (4-6) tenglamaga qo‘yib, quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz

n

F =  (uti - kxi)2  min .

i 1
Funksiyani klassik taxlil qilish usulida, shu funksiyaning kerakli sharti bo‘yicha
(4-10)
ekstremumi borligini

n

F/k = 0, ya’ni 2(u_ti- kx_i)²x_i= 0 .

i 1
Ushbu tenglamani matematik o‘zgartirishlardan so‘ng, tenglama koeffitsienti k ni hisoblash ifodasiga ega bo‘lamiz

k = (
n

i 1
uti

• 
  x_i) (
  

n

i 1
x_i²).
(4-11)

k ning qiymatini hisoblash uchun, avval quyidagi yig‘indilarni hisoblash kerak:

n	n
 uti · xi ;	 xi	2.
i 1	i 1

Regressiya egri chizig‘i qo‘rinishiga qarab U va X orasidagi bog‘liqlikni Y = b₀ + b₁X tenglama orkali ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda «eng kichik kvadratlar usuli»ni qo‘llab, chiziqli tenglama koeffitsientlarini aniqlash mumkin. Bunda normal tenglamalar sistemasi quyidagicha bo‘ladi:

N		N
	ui - 		( b0 + b1xi) = 0
i 1	i 1
N		N
	ui xi- 		(b0 + b1xi) xi = 0 ,
i 1		i 1
yoki
		N		N
Nb0 + b1			xi =  ui
		i 1		i 1
	N		N
b0	 x1	+ b1 		xi^2 = xiui .
	i 1		i 1
4.3. Regression taxlil				usuli

(4-12)

(4-13)

Regressiya tenglamasi aniqlangandan so‘ng, olingan natijalarni statistik taxlil qilish kerak bo‘ladi. Buning uchun barcha regressiya koeffitsientlarining ta’sir darajalari aniqlanadi va tenglamani adekvatligi aniqlanadi. Tenglamani bunday tekshirishga regression taxlil qilish deyiladi.

Regression taxlil qilishni amalga oshirish uchun quyidagi shartlar bajarilishi
kerak:

• 
  kirish parametri X yuqori aniqlikda o‘lchanadi. Uni aniqlashdagi xatolikning bo‘lishi
  

regressiya tenglamasiga kirmagan qandaydir o‘zgaruvchilar borligi bilan aniqlanadi;

- U₁, U₂, …,U_N parametrlarlarni kuzatish natijalari normal taqsimlashdan bog‘lik bo‘lmagan tasodifiy kattaliklardir;

• 
  tanlangan dispersiyalar S₁², S₂², S₃² , …,S_N² bir xil yoyilgan bo‘lishi kerak.
  

Dispersiyani bir xil yoyilganligini aniqlash uchun:
1.	Parallel tajribalar o‘rtacha qiymati aniqlanadi:
		m
		uj =  ujm / m .	(4-14)
		u 1
2.	Tanlangan dispersiya aniqlanadi:
		m
	Si	^2 =  (uii - ui)^2 /(m-1) .	(4-15)

u 1

bu erda S²
3. Dispersiya yig‘indisi aniqlanadi:

N

21. 
    1
    

S_i² .

4. Koxren kriteriysi qiymati hisoblanadi

	N
Gmax = S^2	max /  Si	2,	(4-16)

u 1
_max - tanlangan dispersiyaning maksimal qiymati.
Agar tanlangan dispersiya bir xil yoyilgan bo‘lsa, u holda Koxren kriteriysining hisoblangan qiymati G_max uning jadval bo‘yicha aniqlanadigan qiymati G_p(N, m-1) bilan taqqoslanadi
G_max < G_p(N, m-1),
va qayta takrorlash dispersiyasi hisoblanadi.

S²_takr=

N

21. 
    1
    

S_i²/N.

Qayta takrorlash dispersiyasi regressiya tenglamasi koeffitsientlarining ta’sir darajasini aniqlash uchun kerak bo‘ladi. Bu Styudent kriteriysi yordamida amalga oshiriladi:

tj =  bj / Sbj .

(4-17)

bu erda b_j - regressiya tenglamasining j-nchi koeffitsienti; S_bj - j-nchi koeffitsientni o‘rtacha kvadratik chetlashuvi.

Agar t_j > t bo‘lsa, u holda bu tenglama koeffitsientlarining ta’sir darajasi yukori ekanligini ko‘rsatadi

			N
^Sb0 ^			S ^2воспр xi^2
			i1
	N xi^2  (xi )^2
^Sb1 ^			S ^2воспрN
			N xi^2 (xi )^2

Ta’sir darajasi kam bo‘lgan koeffitsientlar regressiya tenglamasidan chiqarib tashlanadi, qolgan koeffitsientlarning ta’sir darajasi yana qaytadan aniqlanadi. Tenglama adekvatligi Fisher kriteriysi yordamida tekshiriladi

F = S²_kold / S²_takr ,
bu erda S²_kold – qoldik dispersiya, S²_kold = m

N

i 1
(4-18)
(u_i - u_i)² /(N- I); I - bog‘liqlar soni.

Agar F < F_p(f ₁, f ₂) bo‘lsa, u holda tenglama adekvat hisoblanadi.

4.4. Parabolik regressiya usuli

Masalan, agar regressiya egri chizig‘i shakli parabolaga yaqin bo‘lsa, u holda

uni
u = b0 + b1x + b2x ^2		(4-19)
ko‘rinishdagi tenglama orqali ifodalash mumkin.
Tenglama koeffitsientlarini aniqlash uchun «eng kichik		kvadratlar usuli»ni
qo‘llab, quyidagi normal tenglamalar sistemasini olamiz:
 f(x)/ b0 = 1;  f(x)/ b1 = x;  f(x)/ b2 = x^2;		(4-20)
yoki
b0 N + b1 xi + b2 xi^2 =  ui
b0  x1 + b1 xi^2 + b2 xi	^3 =  xi ui .	(4-21)

b₀  x₁² + b₁ x_i³ + b₂ x_i⁴ =  x_i² u_i

Parabola koeffitsientlarini yuqoridagi 4.3 bandda keltirilgan ketma-ketlikda aniqlash mumkin.

4.5. Transsendent regressiya usuli

Ayrim hollarda regressiya egri chizig‘i shakliga ko‘ra parametrlar o‘rtasidagi

bog‘liqlikni
u = b0	b1	x	(4-22)
yoki
u = b0	xb1		(4-23)

ko‘rinishidagi tenglamalar orqali ifodalash mumkin. Bunday ko‘rinishdagi tenglama koeffitsientlarini aniqlash uchun dastlab ushbu tenglama logarifmlanadi va chiziqli tenglama ko‘rinishiga keltiriladi, ya’ni:

lg u = lg b0 + x lg b1

(4-24)

yoki

lg u = lg b₀ + b₁ lg x
lg u = z; lg b₀ = a; lg b₁ = a₁; lgx = t tenglamalar
(4-25)
deb belgilasak (4-24) va (4-25)

z = a0	+ a1x	(4-26)
z = a0	+ b1t	(4-27)

ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalar ko‘rinishiga keladi va ularga yuqorida tavsiflangan usullarni qo‘llab, tenglama koeffitsientlarni aniqlashimiz mumkin.

4.6 Korrelyasion taxlil usuli
Korrelyasion taxlil usuli bo‘yicha Y va X parametrlar o‘rtasidagi bog‘liklikni taxlil qilish uchun korrelyasion nisbat  qiymatidan foydalaniladi. Ushbu nisbat qiymati (odatda 0  1 chegaralarda o‘zgaradi) qancha katta bo‘lsa, bog‘liqlik shuncha katta
bo‘ladi.
Korrelyasion nisbat qiymati quyidagi tenglama bo‘yicha aniqlanadi
 = 1 , (4-28)

bu erda  - bog‘liqlik darajasini ko‘rsatuvchi kattalik,  = (N – eS²_kold) /[(N –1)S²_yrt]; e –

N

bog‘liqliklar miqdori; S2y – o‘rtachaga nisbatan dispersiya, S2y =  ( yi – y’)2 / (N –

i 1
1).

• 
  bo‘yicha bog‘liqlikni taxlil qilish usuliga korrelyasion taxlil deyiladi.
  

Regression taxlil
Regressiya tenglamasi aniqlangandan so‘ng, olingan natijalarni statistik tahlil qilish kerak bo‘ladi. Buning uchun, hamma regressiya koeffitsientlarining ta’sir darajalari aniqlanadi va tenglamaning adekvatligi aniqlanadi. Tenglamani bunday tekshirishga regression tahlil qilish deyiladi.

Regression tahlil qilishni amalga oshirish uchun, quyidagi shartlar bajarilishi
kerak:

1. 
   Kirish parametri x - yuqori aniqlikda o‘lchanadi. Uning aniqlashdagi xatoning bo‘lishi, regressiya tenglamasiga kirmagan qandaydir o‘zgaruvchilar borligi bilan aniqlanadi;
   

2. 
   u₁, u₂.....u_n larning kuzatish natijalari normal taqsimlangan bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy kattaliklardir;
   

3. 
   Tanlangan dispersiyalar S₁²,S₂²,S₃².....S_N² bir xil yoyilgan bo‘lishi kerak.
   

Dispersiyani bir xil yoyilganligini aniqlash uchun:

1. Parallel tajribalar o‘rtacha qiymati aniqlanadi.

		m	im
		
			y
y		u 1
i		m

2. Tanlangan dispersiya aniqlanadi:

			m		2
			yiu  y	i 
S		
	2		u1
	i		m  1

3. Dispersiya yig‘indisi aniqlanadi:

N

 Si2

i 1
4. Koxren kriteriysi kiymati xisoblanadi:

_S 2

G_max  _N ^max

 S_i²

i 1

bu yerda, S²_max - Tanlangan dispersiyaning maksimal qiymati.

Agar tanlangan dispersiya bir xil yoyilgan bo‘lsa,

G_max  G_p N , m 1

G_p(N,m-1) - Koxren kriteriysining tablitsa qiymati, unda qayta takrorlash dispersiyasi hisoblanadi.

N

S_i²

S_восп² _р  ^{i 1}_N

U regressiya tenglamasi koeffitsientlarini ta’sir darajasini aniqlash uchun kerak bo‘ladi. Bu Styudent kriteriysi yordamida amalga oshiriladi:

t				b		j
	j		S
					bj

bu yerda, b_j - regressiya tenglamasining j-nchi koeffitsienti.

S_bj - j-nchi koeffitsientining o‘rtacha kvadratik chetlashuvi.

1. 
   Agar t_j katta t bo‘lsa, unda bu tenglamalar koeffitsienti ta’sir darajasi yuqori.
   

							N
			S	2				2
				восп р  x				i
S						i 1
	b		N 		2	 ( xi			)	2
	0
				xi
			S		2		 N
S					восп р
	b		N 		2	 ( xi			)	2
	1
				xi

Ta’sir darajasi kam koeffitsientlar regressiya tenglamasidan chiqarib tashlanib, qolgan koeffitsientlar yana qaytadan ta’sir darajasi aniqlanadi. Tenglama adekvatligi Fisher kriteriysi yordamida tekshiriladi.

		S		2
F 				ост
		S	2
			восп р
				N		i			i
											2
S				m	( y		 y			)
	2			i 1	N  l
	ост

S²_qol - qoldiq dispersiya, l- bog‘liqliklar soni
Agar F < F_p(f₁,f₂) bo‘lsa, unda tenglama adekvat hisoblanadi.