Referat mavzu: Kichik kvadratlar usuli. Regressiya tenglamalarini qurish tayyorladi: muzaffarov nuriddin

Regression taxlil

(4-2) tenglama koeffitsientlarini «eng kichik kvadratlar» usuli yordamida aniqlash mumkin, ya’ni quyidagi shart bo‘yicha:

6. 
   =
   

N

i 1
(u_tj - u_xj)² = min ,
(4-3)

bu erda N – ajratib olingan tajribalar soni.

Ushbu (4-3) shart bo‘yicha funksiyaning hisoblangan (u_xj) va tajribaviy (u_tj) qiymatlari o‘rtasidagi farqlar kvadratlarini yig‘indisi minimumga intilishi kerak.
Ob’ektning chiqish parametri-ni (u) kirish parametridan (x) bog‘liqligini aniqlash uchun tajriba o‘tkaziladi. Bu tajriba natijalari U va X koordinata tizimiga joylashtiriladi (4.1- rasm). X parametrini o‘zgarish intervali X bulaklarga bo‘lib chiqiladi. Xar bir intervalga tushgan nuqtalarni shu interval o‘rtasiga moslab, shu inervalga tushgan nuqtalarni shu interval o‘rtasiga moslab, shu intervalga to‘g‘ri kelgan ularning o‘rtacha qiymatlari u_j hisoblanadi

n

uj =  x ji / nj ,

i 1
bu erda n - ushbu intervaldagi tajriba nuqtalari.

y

4.1- расм. Регрессия эгри чизиғи.
(4-4)

x

So‘ngra, bu o‘rtacha qiymat nuqtalarini o‘zaro birlashtirib, regressiyaning empirik egri chizig‘ini (4.1- rasm) ko‘ramiz. Bu chiziq ko‘rinishiga qarab, regressiya tenglamasini tanlab olishimiz mumkin

U = f (X) .
Regressiya tenglamasi parametrlarini aniqlash o‘zgaruvchilari ko‘p bo‘lgan funksiyaning minimumini aniqlashga borib taqaladi.
Agar U = f (x; b₀; b₁; b₂; …) fuksiyadan xosila olish mumkin bo‘lsa, b₀, b₁, b₂, …,b_j lar qiymatlari shunday tanlanadiki, u holda quyidagi shart

F(b₀ ,b₁ , b₂ …) =
N
i 1
[u_tj – f (x_j, b₀, b₁, b₂, …,b_j)]² = min
(4-5)

bajarilsin, ya’ni, b₀, b₁, b₂, …, b_j larning shunday qiymatlarini topish kerakki, unda F(b₀, b₁, b₂, …, b_j) funksiya minimumga intilsin.

Ushbu F(b₀, b₁, b₂, …, b_j) funksiyani minimumga intilish sharti (funksiya ekstremumi mavjudligining zaruriy sharti), quyidagi shartni bajarilishidir, ya’ni

yoki
N

i 1
N
i 1
N
i 1

F/b0 = 0; F/b1 = 0; F/b2 = 0

(4-6)

2 [u_j – f (x_j, b₀, b₁, b₂, …,b_j)] f (x_j)/b₀ = 0

2 [uj – f (xj, b0, b1, b2, …,bj)] f (xj)/b1 = 0

(4-7)

2 [u_j – f (x_j, b₀, b₁, b₂, …,b_j)] f (x_j)/b₂ = 0

………………………………………………

yoki matematik o‘zgartirishlardan so‘ng:

N

i 1
N


i 1

N


i 1

u_j f (x_j)/b₀ -  f (x_j, b₀, b₁, b₂, …,b_j) f (x_j)/b₀ = 0


u_j f (x_j)/b₁ -  f (x_j, b₀, b₁, b₂, …,b_j) f (x_j)/b₁ = 0

uj f (xj)/b2 -  f (xj, b0, b1, b2, …,bj) f (xj)/b2 = 0

(4-8)

……………………………………………………….

Ushbu (4-8) sistema tarkibiga kiruvchi tenglamalarda nechta noma’lum koeffitsient mavjud bo‘lsa, undagi tenglamalarning umumiy soni ham shuncha bo‘ladi. Bu matematik statistikada normal tenglamalar sistemasi deyiladi. Ushbu tenglamalar sistemasini funksiyaning umumiy ko‘rinishi uchun echib bo‘lmaydi. Buning uchun funksiyaning muayyan ko‘rinishini tanlab olish va shunga ko‘ra masalani echish kerak bo‘ladi.

Staxostik jarayonlarni matematik modellashtirish uchun odatda tajribaviy-statistik modellashtirish usuli qo‘llaniladi. Bu paytda texnologik jarayonning matematik modelini tuzish uchun mazkur ob’ektda olingan tajriba natijalaridan foydalaniladi.