Reciprocating compressor lubrication

Equation 26
 
Again, we do not have the pressure at the point where the flat portion of the ring meets the 
sloped section 
(𝑥
3
)
. However, here we will assume the Reynold’s or G
ü
mbel’s boundary 
condition at the right-most side of the piston ring 
(𝑥
4
)
. Reynold’s or G
ü
mbel’s boundary 
condition states that the fluid pressure gradually turns into the outlet pressure which is 
mathematically given by: 
𝑃|
𝑥=𝑥
4
= 𝑃
2,𝑔𝑎𝑠
− 𝑎𝑛𝑑 −
𝛿𝑃
𝛿𝑥|
𝑥=𝑥
4
= 0
Equation 27
 
This allows us to write: 
ℎ
𝑚
= ℎ
4
→
𝑑𝑃
𝑑𝑥|
ℎ=ℎ
4
= 6𝜇𝑈
ℎ
4
− ℎ
4
ℎ
3
= 0 
Equation 28
 
∴
𝑑𝑃
𝑑𝑥 = 6𝜇𝑈
ℎ − ℎ
4
ℎ
3
Equation 29
 

---

39 
Similar to the method proposed by (Kruse, 1974), we calculate the slope of the diverging section 
(𝑚
2
)
as: 
𝑚
2
=
𝑑ℎ
𝑑𝑥 (𝑓𝑜𝑟 𝑥
3
< 𝑥 < 𝑥
4
) =
ℎ
4
− ℎ
3
𝑥
4
− 𝑥
3
Equation 30
 
Separating variables and substituting Equation 30 into Equation 29 yields:
𝑑𝑃 = 6𝜇𝑈
ℎ − ℎ
4
ℎ
3
𝑑𝑥 =
6𝜇𝑈
𝑚
2
(
ℎ − ℎ
4
ℎ
3
) 𝑑ℎ 
Equation 31
 
Integrating across the diverging region allows us to write with our known pressure as the 
boundary condition: 
∫
𝑑𝑃
𝑃
2
,𝑔𝑎𝑠
𝑃
= 
6𝜇𝑈
𝑚
2
∫ (ℎ
−2
− ℎ
4
ℎ
−3
)𝑑ℎ
ℎ
4
ℎ
Equation 32
 
Which simplifies to: 
𝑃 = 𝑃
2,𝑔𝑎𝑠
+ (
6𝜇𝑈
𝑚
2
) [
ℎ
4
2ℎ
2
−
1
ℎ +
1
2ℎ
4
] (𝑓𝑜𝑟 ℎ
3
< ℎ < ℎ
4
)
Equation 33
 
2.3.3 - Parallel Section 
Between Equation 23 and Equation 33 we can now find the pressures at the edges of the flat 
portion of the piston ring 
(𝑥
2
and 
𝑥
3
)
using only the pressures on either side of the piston ring 
and the piston ring geometry. Now the center section of the piston ring that is parallel to the 

---

40 
compressor cylinder is the only section left to evaluate. Using the same assumptions as for the 
previous equations, the flow under this section of the piston ring can be described simply as a 
flow between two parallel flat plates with a constant pressure drop. This gives the pressure drop 
under the flat portion of the ring as: 
𝑑𝑃
𝑑𝑥 =
𝑃|
𝑥=𝑥
3
− 𝑃|
𝑥=𝑥
2
𝑥
3
− 𝑥
2
Equation 34
 
Which can be integrated to yield:
𝑃 =
𝑃|
𝑥=𝑥
3
− 𝑃|
𝑥=𝑥
2
𝑥
3
− 𝑥
2
(𝑥 − 𝑥
2
) + 𝑃|
𝑥=𝑥
2
(𝑓𝑜𝑟 𝑥
2
< 𝑥 < 𝑥
3
)
Equation 35
 
Additionally, the flow rate and fluid velocity through this portion of the piston ring are given by 
Hamrock, Schmid, and Jacobson (2004) as:
𝑞
′
= −
ℎ
3
12𝜇 
𝑑𝑃
𝑑𝑥 +
𝑈ℎ
2 (𝑓𝑜𝑟 𝑥
2
< 𝑥 < 𝑥
3
)