Речной гидродинамики

Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

Введем обозначения для поверхности дна и свободной поверхности:
x
3
= 
b
(
x
1
, 
x
2
) и 
x
3
= 
z
(
x
1
, 
x
2
, 
t
), см. Рис. 1.1.1, а также для внешних нормалей:
Далее обсуждаются граничные условия на этих поверхностях.
Граничные условия на свободной поверхности.
На свободной поверх-
ности 
x
3
= 
z
(
x
1
, 
x
2
, 
t
) ставятся кинематическое и динамическое условия
Здесь 
p
0
(
x
1
, 
x
2
, 
t
) и 
– заданные нормальные напряжения и 
эмпирическое выражение для трения (см. раздел 1.2.5); 
s
i
– базис в каса-
тельной плоскости: 
Трение 
f 
z 
на свободной поверхности может возникать, например, при мо-
делировании сгонно-нагонных явлений или при моделировании ледовых 
заторов. Капиллярные силы в задачах речной гидродинамики обычно не 
учитываются из-за относительно больших характерных горизонтальных 
масштабов.
Граничные условия на поверхности дна.
Возможны два варианта по-
становки граничных условий. Первый – стандартное условие прилипания 
на неподвижных твердых границах в вязкой жидкости; во втором варианте 
задаются условие непротекания и трение. Отметим, что в литературе суще-
ствуют выводы уравнений вязкой мелкой воды, опирающиеся как на усло-
вия первого типа на дне, так и на условия второго типа, соответственно при-
водящие к различным итоговым уравнениям. При решении практических 
задач речной гидродинамики в рамках модели мелкой воды второй вариант 
оказывается более физичным, поскольку позволяет контролировать трение, 
возникающее на подстилающей поверхности. 
Будем считать, что на поверхности дна 
x
3
= 
b
(
x
1
, 
x
2
) задаются условия 
непротекания и вектор касательных напряжений
Здесь 
– заданное эмпирическое выражение для трения (см.