Речной гидродинамики

w
˗ 
∈ 
˗ и 
w
+
∈ 
+
, для которых выполнено одно из 
соотношений (2.2.5)–(2.2.7) и Предположение 2.1. Для этого сначала одно 
из множеств ˗ или 
+
отображается на плоскость другого множества с 
помощью отображений (2.2.6), (2.2.7); затем разыскивается пересечение, 
для которого имеет место Предположение 2.1. Будем придерживаться ли-
нии рассуждений, описанной в [Aleksyuk, Belikov, 2019] при доказательстве 
единственности решения, выбирая отображения (Φ
LR
или Φ
RL
∩
Ψ
RL
), в зави-
симости от направления потока при 
x
= 0.
Часть I. Теоретическое описание течений мелкой воды
47

---

Можно заметить (см. Рис. 2.2.4а, б), что проще отобразить часть
+
с 
u
+ ≤ 0 на плоскость (
c
-, 
u
-) и часть ˗ с 
u
˗ ≥ 0 на плоскость (
c
+
, 
u
+
), 
чем целые множества, включающие подмножества 
+
, ˗. Именно поэтому 
удобно выбирать направление отображений в зависимости от знака расхода 
q
при 
x
= 0. Его можно определить по следующим критериям: если 
c
+
0 
= 0 и 
c
˗
0
≤ 1 или если (
c
˗
0
)
2 
– (
c
+
0
)
2 
= 1, тогда 
q
= 0; иначе если (
c
˗
0
)
2 
– (
c
+
0
)
2
> 1, тогда 
q
> 0; иначе 
q
< 0.
Таким образом, необходимо найти только следующие образы (Φ
RL
∩
Ψ
RL
)
(
+
n
∩
+
) и Φ
LR
( ˗
ρ
∩
˗), которые являются: 
– строго возрастающей функцией 
u
˗ = 
β
˗ (
c
˗, 
w
R
) и точкой Φ
RL
(
+
*
) для 
(Φ
RL 
∩
 
Ψ
RL
)(
+
n
∩ 
+
) (Рис. 2.2.5а). Здесь точка = 
+
∩
(
+
∩ {(
c
, 
u
):
u
= ˗
c
}), т.е. 
+
*
совпадает с точкой 
+
, если она существует, в противном 
случае – с ;
– строго убывающей функцией 
u
+
= 
β
+
(
c
+
, 
w
L
) для Φ
LR
( ˗
ρ
) и точкой
Φ
LR
( ˗) (Рис. 2.2.5б).
(а) (б)
Рис. 2.2.5.
Образы множеств 
+
(а) и - (б)., изображенных на Рис. 2.2.4:
(а) – Φ
RL
∩
Ψ
RL
(
+
n
∩
+
) и (б) – Φ
LR
( ˗
ρ
∩
˗)
2.2.5. Алгоритм нахождения точного решения
Алгоритм решения задачи с входными данными 
w
L
, 
w
R
в виде псевдокода 
приведен ниже [Aleksyuk, Malakhov, Belikov, 2020]. Задача решается в без-
размерном виде, т.е. если Δ
b
≠ 0, то до и после выполнения алгоритма необ-
48
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

ходимо осуществить преобразования с использованием уравнений (2.2.4). 
Если Δ
b
= 0, то задача Римана решается стандартным подходом, описанным 
в разделе 2.1 (Алгоритм C1).
Здесь мы выделяем случаи с различными направлениями потока:
– если 
q
= 0, то решением будет