Raqobatning ayrim modellari «Yirtqich-o‘lja»

Yirtqich-o’lja modeli.

Faraz qilaylik t momentdagi yirtqich turining soni x(t), qurbon turning soni y(t), ular populyatsiyalarining o’sish tezliklari bir jinsli chiqikli sistema :
x’(t)=x(t) + y(t) ,
y’(t)= - x(t) + y(t)
bilan ifodalangan bo’lsin. t=0 da x(0)=y(0)=1000 bo’lganda, x(t), y(t) topilsin va o’lja-turning qirilib ketish vaqti topilsin.
Yechish. 1-holdagiday
x” –2x’+ 2x =0
tenglamani olamiz. k² – 2k + 2=0 dan k_{1, 2}=1i, =1, =1 bo’ladi, umumiy yechim x(t) = e^t(C₁cost + C₂sint) kelib chiqadi. Sistemaning 1-tenglamasidan
y=x’ – x = e^t(C₂cost – C₁sint),
topamiz. x(0)=y(0)=1000 dan C₁=C₂=1000 hosil bo’ladi. Shuning uchun izlangan yechim x(t) = 1000e^t(cost + sint),
y(t) = 1000e^t(cost - sint)
ni olamiz.
O’lja tur qirilib ketishi uchun cost - sint =0 bo’lishi kerak, bunda vaqt birligi kelib chiqadi.
Yirtkichlar populyatsiyasining muhitning boshqa resurslari hisobiga o’sishi davom etadi va x’(t) = x(t) tenglama bilan ifodalanadi.
Buni yechsak

hosil bo’ladi.

3. 
   Turlar birgaligi modeli.
   

Ikki turlardan har birining populyatsiyasi boshqasining soniga proporsional o’sadigan, har bir tur populyatsiyasining kamayishi o’zining soniga proporsional deb hisoblaylik. Populyatsiyalarning bunday xossasining modeli sifatida
x’(t)= - 2x(t) + 4y(t),
y’(t) = x(t) - 2y(t)
chizikli sistemani olish mumkin. Agar t=0 da x(0)=100, y(0)=300 bo’lsa, t>0 uchun x(t), y(t) topilsin.
Yechish. Differensiallab, y(t) ni yuqotib, x”(t)+4x’(t)=0 tenglamani olamiz. k²+4k=0 xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁=0, k₂=-4 bo’ladi. Umumiy yechim
x(t)=C₁e^0t+C₂e^-4t=C₁+C₂e^-4t
ko’rinishda bo’ladi. Bundan tashqari
y(t)=(1/4)[x’(t)+2x(t)]=C₁/2-(C₂/2)e^-4t
bo’ladi. Boshlangich shartlardan foydalanib,
x(0)=C₁+C₂=100
va
y(0)=C₁/2- C₂/2=300
ni topamiz. Bundan C₁=350, C₂=-250 kelib chiйadi. Izlangan yechim
x(t)=350-250e^-4t va y(t)=175+125e^-4t
ni olamiz.
Uchala modelda ham olingan yechimlarni kengroq tahlil qilish mumkin. Ko’pincha turlarning o’zaro ta’siri modelini tuzishdagi farazlarning to’g’riligi turlardan biri yo’qolgandan keyin buziladi.