Raqobatning ayrim modellari «Yirtqich-o‘lja»

Raqobatning ayrim modellari
«Yirtqich-o‘lja» sistemasining o‘zaro munosabat modeli.
Faraz qilaylik bir muhitda ikki turdagi populyatsiya mavjud bo’lib, ular umumiy resurslar uchun raqobatda bo’lsin. U holda populyatsiyaning o’sishini ifodalashda raqib turning ishtiroki ta’sirini xisobga olish zarur.
Populyatsiyaning o’sish tezligi shu populyatsiyaning o’zining sonigagina bogliq bo’lmaydi, balki boshqa tur soniga ham bogliq deb aytish mumkin. O’zaro ta’sirning bunday turini ifodalash uchun bitta differensial tenglama yetarli bo’lmaydi.
Berilgan muhitda ishtirok etuvchi ikki turning t momentdagi miqdorlari mos xolda x(t), y(t) bo’lsin.
Bir turning o’sishiga shu turning va boshqa turning ishtiroki ta’siri har xil bo’lishi mumkin:
1. 1-turning o’sishiga 2-turning o’sishi salbiy, 1-turning o’sishi ijobiy, 2-turning o’sishiga 1-turningg o’sishi salbiy, 2-turning o’sishi ijobiy ta’sir qilishi mumkin. Buni turlararo raqobat modeli deyiladi.
2. 1-turning o’sishiga 2-turning o’sishi ijobiy, 1-turning o’sishi ijobiy, 2-turning o’sishiga 1-turningg o’sishi salbiy, 2-turning o’sishi ijobiy ta’sir qilishi mumkin, buni yirtqich-o’lja modeli deyiladi
3. 1-turning o’sishiga 2-turning o’sishi ijobiy, 1-turning o’zining o’sishi salbiy, 2-turning o’sishiga 1-turningg o’sishi ijobiy, 2-turning uzining o’sishi salbiy ta’sir qilishi mumkin, buni turlar birgaligi modeli deyiladi.
Turlarning o’zaro ta’sirining sodda modellariga misollar keltiramiz.

1. 
   Turlararo raqobat modeli
   

x’(t)=2x(t) – y(t),
y’(t)= - x(t) + 2y(t)
bir jinsli chiziqli sistema ikki raqib turlarning ular o’sishi tezliklariga o’zaro ta’sirini ifodalaydi.
Faraz kilaylik x(0)=100, y(0)=200. x(t), y(t) larni topish talab qilinadi.
Yechish. 1- tenglamadan y=2x-x' topib 2- tenglamaga qo’ysak,
y’= - x + 2y = - x + 2[2x – x’] (*)
kelib chiqadi. 1-tenglamani differensiallab
x” = 2x’ – y’ ni olamiz, buni (*) ni qo’ysak,
x” = 2x’ – {- x + 2[2x – x’]} = 2x’ + x – 4x + 2x’
yoki
x” – 4x’ + 3x = 0 (**)
xosil bo’ladi. Buni yechish chun xarakteristik tenglamani tuzamiz:
k² – 4k +3 = 0, uni yechamiz : k_{1, 2}= 2  = 2 1, k₁ =1, k₂=3 kelib chiqadi.
(**) ning umumiy yechimi x = C₁e^t +C₂e^{3 t} ni olamiz.
Sistemaning 1-tengtamasida y=2x – x’ edi, shuning uchun y = C₁e^t - C₂e^{3 t}
kelib chiqadi.
x(0)=100, y(0)=200 dan

bo’lib, C₁=150, C₂= - 50 ni topamiz. Izlangan yechim
x(t)=150e ^t – 50 e^{3 t}
y(t)=150e ^t + 50 e^{3 t}
bo’ladi.

2.