Qaldıqlar (vıchetler) teoriyası. Qaldıqlar teoriyasınıń anıq integrallardı yesaplawǵa qollanılıwı (I, II, III tipler). funksiyası, logarifmlik qaldıq, Rushe teoreması

§6. Qaldıqlar (vıchetler) teoriyası. Qaldıqlar teoriyasınıń anıq integrallardı yesaplawǵa qollanılıwı (I, II, III tipler). funksiyası, logarifmlik qaldıq, Rushe teoreması

Meyli , noqattıń oyılǵan dógereginde golomorf bolıp, sol dógerekte jatatuǵın hám tochkanı ózishine alatuǵın sheńber bolsın (eger bolsa, sheńberi saat strelkası boyınsha baǵıtlanǵan dep oylaymız ).

Anıqlama. funksiyanıń tochkadaǵı vıcheti dep

shamaǵa aytıladı, hám ol bılayınsha belgilenedi

Egerde tochkada golomorf bolsa, onda . Kerisi orınlı emes. Mısalı funksiya ushın noqat 2- tártipli polyus, biraqta . Jánede aytatuǵın nárse tochkada funksiyasınıń tiń nolge teńligi kelip shıqpaydı. Mısalı funksiya sheksizlikte golomorf, biraqta .
1-teorema. Egerde funksiya noqattıń oyılǵan dógereginde golomorf bolsa, onada , sol funksiyanıń Loran qatarına jayılmasındaǵı aldındaǵı koeficent ge teń. Eger sheksizliktiń oyılǵan dógereginde golomorf bolsa, onda . Bul jerde - tiń Loran qatarındaǵı diń aldındaǵı koefficent.
2-teorema. Egerde , ushın 1-tártipli polyus bolsa, onda
Saldar. Egerde funksiya noqattıń dógereginde kórinisinde jazılatuǵın bolıp, hám funksiyalar shártlerdi qanaatlandıratuǵın jánede tochkada golomorf bolsa, onda

3-teorema. Eger tochka funksiya ushın tártipli polyus bolsa, onda
(1)
Kópshilik jaǵdayda sheksiz uzaqlasqan tochkada vıchet yesaplawda tómendegi formula qolaylı boladı.
Lemma. Egerde bolsa, onda
Teorema (vıchetlar haqınqındaǵı tiykarǵı teorema). Meyli shegarası bólekli-sıypaq bolǵan oblastında , ayrıqsha tochkalardan basqa barlıq tochkalarda golomorf bolsın. Bunnan tısqarı , shegarada uzliksiz bolsa, onda:
1) shegarası sheksizlikti óz ishine almaǵanda

2) sheksizlikti óz ishine alǵanda
formulalar orınlı boladı.
Saldar. Meyli funksiya keńeytirilgen kompleks tegisliginde sheli sandaǵı ayrıqsha tochkalarǵa iye bolıp, tegisliktiń qalǵan bóleginde golomorf bolsın. Bul waqıtta tiń sheksizliktegi vıchetti qosıp yesaplaǵandaǵı barlıq vıchetleriniń qosındısı nolge teń, yaǵnıy

Bul jerde tiń shekli ayrıqsha noqatları. ([3], [4] Ádebiyatlardan paydalanıwdı másláhát etemiz).

Mısallar hám máseleler

1. daǵı
funksiyanıń barlıq ayrıqsha noqatlarındaǵı vıchetti tabıń.
Sheshiw. Keńeytirilgen komplegis tegislik da, , hám ápiwayı polyuslarǵa iye, al ol ushın mańızlı ayrıqsha tochka. hám tochkalarda tiń vıchetleri tómendegishe judá ápiwayı yesaplanadı.

di hár turli jol menen yesaplaw mumkin. Sol jollardan biri onı noqattıń dógereginde Loran qatarına jayıw arqalı yesaplaymız.

Bul jerden tiń aldındaǵı koefficentdi teris belgi menen yesaplap, mınanı alamız

2. di yesaplań.
Sheshiliwi. noqat funksiyanıń m eseli polyusi bolǵanlıǵı ushın, (1) formuladan

3. Tómendegi funksiyalardıń ayrıqsha noqatlarındaǵı vıchetlerin yesaplań

4. Berilgen funksiyalardıń jekkelengen ayrıqsha noqatlarındaǵı hám sheksiz uzaqlasqan tochkadaǵı vıchetlerin tabıń.