Применение двукратных и трехкратных интегралов

Теорема 1. Функция, непрерывная в замкнутой квадрируемой
области, интегрируема в этой области.
Теорема 2. Функция, ограниченная в квадрируемой области и непрерывная всюду, кроме множества точек площади нуль, то есть это множество можно заключить в многоугольник сколь угодно малой площади, интегрируема в этой области.
§2. Свойства двойного интеграла.
Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.
°. Аддитивность. Если функция интегрируема в области и если область при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области и , то функция интегрируема в каждой из областей и , причем:

°. Линейное свойство. Если функции и интегрируемы в области , а и - любые вещественные числа, то функция также интегрируема в области , причем:
.
°. Если функции и интегрируемы в области , то и произведение этих функций интегрируемо в .
°. Если функции и обе интегрируемы в области и всюду в этой области , то:

°. Если функция интегрируема в области , то и функция интегрируема в области , причем:

Конечно, из интегрируемости в не вытекает интегрируемость в .
°. Теорема о среднем значении. Если обе функции и интегрируемы в области , функция неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, и - точная верхняя и точная нижняя грани функции в области , то найдется число , удовлетворяющее неравенству M и такое, что справедлива формула:

В частности, если функция непрерывна в , а область связна, то в этой области найдется такая точка , что , и формула принимает вид:

°. Важное геометрическое свойство. равен площади области .