Применение двукратных и трехкратных интегралов

§3. Виды интегралов.
Интеграл (от лат. integer — букв. целый) — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:

• 
  о нахождении площади под кривой;
  
• 
  пройденного пути при неравномерном движении;
  
• 
  массы неоднородного тела, и тому подобных;
  
• 
  а также в задаче о восстановлении функции по её производной, неопределённый интеграл.
  

Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие.


ГЛАВА II. Двукратные интегралы.
§1. Определение двойного интеграла.
Пусть D – квадрируемая область на плоскости и пусть в области D определена ограниченная функция
.
Разобьём область D на n квадрируемых частей так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек. В каждой части
возьмём произвольную точку и составим сумму:

где – площадь области . Эта сумма называется интегральной
суммой функции , соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек .
Пусть диаметр области равен , где .
Обозначим диаметр области через .
Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения области , у которого , и для любого выбора промежуточных точек, выполняется неравенство:

Если существует , то он называется двукратным интегралом от функции по области и обозначается:

а функция называется интегрируемой в области .