Преобразования плоскости §

Для невырожденных, одинакового размера квадратных матриц и справедливо соотношение .

Доказательство: 1. Пусть произведение матрицы на некоторый n-компонентный столбец есть столбец . Тогда или, что, то же самое, (см. определения 5.1.1. и 5.1.2.).

2. С другой стороны, из последнего равенства получаем, что и, аналогично, . 3. Вычитая почленно равенства и , приходим, в силу дистрибутивности матричного произведения, к соотношению , которое, по лемме 5.1.2., в виду произвольности столбца , означает, что матрица нулевая. Теорема доказана.

Задача 5.1.1.

Проверить тождество .

Определение 5.1.4.

Невырожденная квадратная матрица , для которой , называется ортогональной.

Свойства ортогональных матриц, играющих важную роль во многих приложениях, можно сформулировать в виде следующих теорем.

Теорема 5.1.3.

Для ортогональной матрицы справедливо равенство .

Доказательство: Умножая равенство последовательно справа и слева на , мы в силу определения 5.1.2. приходим к соотношению . Откуда находим, что , поскольку: - определитель произведения квадратных матриц одинакового размера равен произведению определителей сомножителей; - определитель матрицы не меняется при ее транспонировании; - . Теорема доказана.

Теорема 5.1.4.

Каждая ортогональная матрица второго порядка , для которой может быть представлена в виде , где  - некоторое число, а каждая ортогональная матрица с - в виде .

Доказательство: Пусть матрица ортогональная, тогда должны быть справедливы равенства и, следовательно, . Последнее матричное равенство может быть записано в виде системы скалярных условий причем из этих равенств, как было показано при доказательстве теоремы 5.1.3., следует, что . Рассмотрим вначале случай . Если из суммы первого и третьего уравнений системы вычесть удвоенное равенство , то мы получим или откуда следует, что . Наконец, из условий имеем оценки , которые позволяют ввести обозначения , приводящие к требуемому виду матрицы поскольку из полученных соотношений следует, что . Случай рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Следствие 5.1.1.