Преобразования плоскости §

Для всякого аффинного преобразования существует пара взаимно ортогональных направлений, которые переводятся данным аффинным преобразованием во взаимно ортогональные.

Доказательство: Рассмотрим ортонормированную систему координат. Пусть пара исходных взаимно ортогональных направлений задается в ней ненулевыми векторами и с координатными представлениями и . Потребуем, чтобы их образы (ненулевые в силу аффинности) были также взаимно ортогональны. Условие ортогональности векторов и в базисе имеет вид или , а после переобозначения коэффициентов, . Рассмотрим следующие случаи: 1) . В этом случае любая пара взаимно ортогональных векторов данным преобразованием переводится во взаимно ортогональную пару векторов. 2) и . Тогда , то есть искомая пара векторов - базисная.

3) Наконец, если , то отношение координат векторов и находится из квадратного уравнения , имеющего действительные решения при любом ненулевом U. Теорема доказана.

§5.5. Ортогональные преобразования плоскости

Определение 5.5.1.

Ортогональным преобразованием плоскости P называется линейный оператор вида , матрица которого ортогональная в любой ортонормированной системе координат.

Заметим, что ортогональное преобразование является частным случаем аффинного преобразования, поскольку, в силу теоремы 5.1.3., имеет место либо , либо . Помимо приведенных в §5.4. аффинных свойств, ортогональные преобразования обладают своими специфическими особенностями. Рассмотрим основные из них.

Признак того, что некоторый линейный оператор является ортогональным, может быть сформулирован как

Теорема 5.5.1.