Преобразования плоскости §

Линейный оператор на плоскости является ортогональным, если его матрица ортогональная хотя бы в одной ортонормированной системе координат.

Доказательство: Пусть на плоскости P имеются два ортонормированных базиса и с матрицей перехода . Согласно следствию 5.1.1. эта матрица также ортогональная и для нее справедливо равенство , и пусть матрица линейного оператора ортогональна в исходном базисе , то есть для нее . Перейдем к базису , в котором матрица линейного оператора согласно теореме 5.3.3. будет иметь вид . Найдем в новом базисе матрицу . Используя теоремы 5.1.1. и 5.1.2. , а также ортогональность матриц и , получим

Но равенство означает, что матрица линейного оператора ортогональная и в базисе . Теорема доказана.

Теорема 5.5.2.

В ортонормированной системе координат ортогональное преобразование плоскости сохраняет: 1. Скалярное произведение векторов; 2. Длины векторов и расстояния между точками плоскости; 3. Углы между прямыми.

Доказательство: 1. Пусть дано ортогональное преобразование плоскости с матрицей в ортонормированной системе координат . Из полученных в §2.3. результатов следует, что в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов и с координатными представлениями и может быть представлено в следующем виде

Тогда, для скалярного произведения образов векторов и , принимая во внимание ортогональность матрицы , получаем Равенство и означает, что при ортогональном преобразовании плоскости скалярное преобразование сохраняется в любом ортонормированном базисе. 2. Из сохранения при ортогональном преобразовании скалярного произведения для любой пары векторов следует сохранение длин векторов, поскольку этом случае

3. Поскольку в силу 2 при ортогональном преобразовании равные треугольники переходят в равные, то будут сохраняться и величины углов между векторами на плоскости. Теорема доказана.

Используя свойства ортогональных преобразований, можно показать, что для аффинных преобразований справедлива следующая важная теорема.

Теорема 5.5.3.